Zadanie - obliczyć pole elipsy
Treść zadania:
Dany jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2=4\). Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?
Rozwiązanie zadania
Równanie okręgu o środku \(O(x_s,y_s)\) ma następującą postać:
W naszym przypadku mamy więc:
\(x^2+y^2=4\)
\((x-0)^2+(y-0)^2=2^2\)
\(x_s=0, \ y_s=0, \ r=2\)
Równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie \(O(0,0)\) (początek układu współrzędnych) i promieniu \(r=0\). Półoś wielka \(a=r=2\). Oznaczmy półoś małą elipsy przez \(b\). Jest to wielkość szukana. Sporządzamy szkic:
Pole elipsy obliczamy ze wzoru:
gdzie \(a,b\) to długości półosi elipsy.
Pole koła obliczamy ze wzoru:
Z warunków zadania wiemy, że \(a=r\), obliczamy więc pole koła:
\(P_k=\pi r^2=\pi a^2=\pi \cdot 2^2=4\pi\)
Wiemy, że pole elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła. Obliczamy pole powierzchni elipsy:
\(a=2\)
\(P_e=\pi ab=2\pi b\)
\(P_e=\frac{1}{2}P_k=\frac{1}{2}\cdot 4\pi=2\pi\)
\(2\pi b=2\pi /:2\pi\\ b=1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-22, ZAD-1121
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.
Zadanie nr 4.
Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu \(6\pi\) i osi wielkiej elipsy o długości 6.