Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych

Treść zadania:

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Trójkat w układzie współrzędnych

Szukamy długości wysokości \(h\). Wysokość leży na prostej \(b\), która jest prostopadła do prostej a zawierającej podstawę \(AB\) trójkąta. Znając współrzędne punktu \(D\), który jest punktem wspólnym obu prostych (wystarczy rozwiązać układ równań) obliczymy odległość między punktami \(C, D\), która jest równa długości wysokości.

Szukamy równania prostej \(a\). Korzystamy z równania prostej:

\(y=ax+b\)

Dane są współrzędne punktów \(A\) i \(B\), więc:

\(A=(-1,0), \ B=(1,-1)\)

\(y=ax+b\)

\(\begin{cases}-1=a\cdot 1+b\\(0=a\cdot (-1)+b \end{cases} \)

\(\begin{cases}-1=a+b\\(0=-a+b \end{cases} \)

\(\begin{cases}-1=b+b/:2\\(a=b \end{cases} \)

\(\begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\(a=-\frac{1}{2} \end{cases}\)

\(y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)

Szukamy teraz równania prostej \(b\), która zawiera wysokość. Ponieważ proste \(a\) i \(b\) są prostopadłe do siebie, ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie przeciwne i odwrotne:

\(a=-\frac{1}{a_1}\)

Korzystając z tego, jak również z danych współrzędnych punktu \(C\), otrzymujemy:

\(y=a_1x+b_1\)

\(a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\)

\(y=2x+b_1\)

\(C=(1,2)\)

\(2=2\cdot 1+b_1\)

\(2=2+b_1\)

\(b_1=0\)

\(y=2x\)

Rozwiązujemy układ równań obu prostych, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu D:

\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2}{5})\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}\\ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})

Odległość między dwoma punktami \(A=(x_A,y_A)\) i \(B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych wyraża się wzorem:

\(|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\)

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\)

\(|CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\)

\(=\sqrt{(\frac{5}{5}+\frac{1}{5})^2+ (\frac{10}{5}+\frac{2}{5})^2}=\)

\(=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\)

\(=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{144}{25}}=\)

\(=\sqrt{\frac{180}{25}}=\sqrt{\frac{36\cdot 5}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

ksiązki Odpowiedź

\(h=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

© medianauka.pl, 2011-01-23, ZAD-1123

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2021

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.