Zadanie - środek ciężkości trójkąta
Treść zadania:
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).
Rozwiązanie zadania
Środkowe trzech boków trójkąta, czyli odcinki łączące środki boków trójkąta z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta, przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Wystarczy , że zaznaczymy dwie środkowe w trójkącie. Sporządzamy więc szkic:
Szukamy długości współrzędnych punktu \(S\). Punkt ten jest częścią wspólną dwóch prostych zawierających środkowe. Wystarczy rozwiązać układ równań tych prostych. Aby znaleźć równania tych prostych musimy znać współrzędne punktów A', B'. Ponieważ są to środki boków trójkąta, możemy skorzystać ze wzoru na środek odcinka AB o punktach \(A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B)\):
Szukamy współrzędnych punktu \(A'\), który jest środkiem odcinka \(\overline{BC}\):
\(B=(1,2), \ C=(-2,-1)\)
\(x_{A'}=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\)
\(y_{A'}=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\)
\(A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
Szukamy współrzędnych punktu \(B'\), który jest środkiem odcinka \(\overline{AC}\):
\(A=(2,1), \ C=(-2,-1)\)
\(x_{B'}=\frac{2+(-2)}{2}=0\)
\(y_{B'}=\frac{1+(-1)}{2}=0\)
\(B'=(0,0)'\)
Szukamy równania prostej \(AA'\). Korzystamy z równania prostej:
Dane są współrzędne punktów \(A\) i \(A'\), więc:
\(A=(2,1), \ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
\(y=ax+b\\ \begin{cases}1=a\cdot 2+b\\ \frac{1}{2}=a\cdot (-\frac{1}{2})+b/\cdot 4 \end{cases} \)
\(\underline{+ \ \begin{cases}1=2a+b\\ 2=-2a+4b \end{cases}} \)
\(3=5b/:5\\ b=\frac{3}{5}\)
\(1=2a+b\)
\(1=2a+\frac{3}{5}\)
\(-2a=-\frac{2}{5}/:2\)
\(a=\frac{1}{5}\)
\(y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}\)
Szukamy teraz równania prostej \(b\), która zawiera środkową \(BB'\).
\(B=(1,2), \ B'=(0,0)\)
\(y=ax+b\)
\(\begin{cases}2=a \cdot 1+b\\ 0=a\cdot 0+b \end{cases}\)
\(\begin{cases} b=0\\ a=2 \end{cases} \)
\(y=2x\)
Rozwiązujemy układ równań obu prostych metodą podstawienia, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu S:
\(\begin{cases} y=2x\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5} \end{cases} \)
\(2x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}/\cdot 5\)
\(10x=x+3\)
\(9x=3/:9 \)
\(x=\frac{1}{3}\)
\(y=2x \)
\(y=\frac{2}{3}\)
\(S=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})'\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-24, ZAD-1124
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
Zadanie nr 2.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Zadanie nr 3.
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Zadanie nr 5.
W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Zadanie nr 6.
W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.
Zadanie nr 7.
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. \(a=6\)
B. \(a=4\)
C. \(a=3\)
D. \(a=2\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.
Zadanie nr 10 — maturalne.
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).
Zadanie nr 11.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).
A. 10°
B. 30°
C. 40°
D. 50°