Zadanie - trójkąt prostokątny

Treść zadania:

W trójkącie prostokątnym wysokość o długości \(2\sqrt{2}\) opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic.

Trójkąt prostokątny

Wiemy z treści zadania, że jeden z odcinków podstawy jest dwa razy dłuższy od drugiego:

\(x=2y\)

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwie części tak, że jest dla tych części średnią geometryczną:

\(h=\sqrt{xy}\)

\(h=2\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{2}=\sqrt{2y\cdot y}\)

\(2\sqrt{2}=\sqrt{2y^2}\)

\(2\sqrt{2}=y\sqrt{2}/:\sqrt{2}\)

\(y=2\)

\(x=4\)

Możemy więc obliczyć długość podstawy:

\(c=x+y\)

\(c=2+4\)

\(c=6\)

Znając długości \(x\) oraz \(y\), możemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczyć długości \(a\) oraz \(b\), gdyż wysokość dzieli nasz trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Zatem zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

\(a^2=x^2+h^2\)

\(a^2=4^2+(2\sqrt{2})^2\)

\(a^2=16+4\cdot 2\)

\(a^2=24\)

\(a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}\)

Dla drugiego trójkąta:

\(b^2=y^2+h^2\)

\(b^2=2^2+(2\sqrt{2})^2\)

\(b^2=4+4\cdot 2\)

\(b^2=12\)

\(b=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\(a=2\sqrt{6}, \ b=2\sqrt{3}, \ c=6\)

© medianauka.pl, 2011-02-07, ZAD-1134

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \(\sqrt{10}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Znaleźć punkt na prostej \(y=1\), który wraz z punktami \(A=(2,3), B=(4,2)\) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

ilustracja do zadania

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

A. \(14\)

B. \(2\sqrt{33}\)

C. \(4\sqrt{33}\)

D. \(12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.