Zadanie - trójkąt równoboczny
Treść zadania:
Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic.
Zauważamy, że wszystkie trójkąty wyznaczone przez odcinki, które łączą środki boków są przystające (Zobacz zadanie 611). Łatwiej będzie wyznaczyć wysokość skrajnego trójkąta, którego podstawa jest dana. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:
\((\frac{1}{2}a)^2=h^2+(\frac{1}{4}a)^2\)
\(\frac{a^2}{4}=h^2+\frac{a^2}{16}\)
\(h^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{16}\)
\(h^2=\frac{4a^2}{16}-\frac{a^2}{16}\)
\(h^2=\frac{3a^2}{16}\)
\(h=\sqrt{\frac{3a^2}{16}}\)
\( h=\frac{\sqrt{3}}{4}a\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-09, ZAD-1140
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 2.
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 4.
Dane są punkty \(A=(1,1), B=(4,-2)\). Znajdź punkt \(C\), który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(ABC\).
Zadanie nr 5.
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.
Zadanie nr 6.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy
A. 4
B. 2
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 2/3
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe
A. \(3\sqrt{3}\)
B. \(4\sqrt{3}\)
C. \(27\sqrt{3}\)
D. \(36\sqrt{3}\)