Zadanie - trójkąt równoboczny
Treść zadania:
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic.
Aby wyznaczyć wysokość \(h\), skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa (zielony trójkąt):
\(h^2+(\frac{1}{2})^2=x^2\)
\(h^2=x^2-\frac{1}{4}\)
Nie mamy wyznaczonej długości \(x\). Aby ją wyznaczyć ponownie skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, tym razem dla trójkąta prostokątnego zaznaczonego na pomarańczowo.
\(1^2+(\frac{1}{2})^2=y^2\)
\(y^2=1+\frac{1}{4}\)
\(y^2=\frac{5}{4}\)
\(y=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Mamy dalej:
\(x+y=2\)
\(x+\frac{\sqrt{5}}{2}=2\)
\(x=2-\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Możemy wstawić wyznaczoną wartość \(x\) do pierwszego wzoru:
\(h^2=x^2-\frac{1}{4}\)
\(h^2=(2-\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{1}{4}\)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
i otrzymujemy:
\(h^2=4-2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}+(\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{1}{4}\)
\(h^2=4-2\sqrt{5}+\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\)
\(h^2=4-2\sqrt{5}+\frac{4}{4}\)
\(h^2=5-2\sqrt{5}\)
\(h=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-09, ZAD-1141
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 2.
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 4.
Dane są punkty \(A=(1,1), B=(4,-2)\). Znajdź punkt \(C\), który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(ABC\).
Zadanie nr 5.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.
Zadanie nr 6.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy
A. 4
B. 2
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 2/3
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe
A. \(3\sqrt{3}\)
B. \(4\sqrt{3}\)
C. \(27\sqrt{3}\)
D. \(36\sqrt{3}\)