Zadanie - trójkąt równoboczny

Treść zadania:

W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic.

Trójkat równoboczny

Aby wyznaczyć wysokość \(h\), skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa (zielony trójkąt):

\(h^2+(\frac{1}{2})^2=x^2\)

\(h^2=x^2-\frac{1}{4}\)

Nie mamy wyznaczonej długości \(x\). Aby ją wyznaczyć ponownie skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, tym razem dla trójkąta prostokątnego zaznaczonego na pomarańczowo.

\(1^2+(\frac{1}{2})^2=y^2\)

\(y^2=1+\frac{1}{4}\)

\(y^2=\frac{5}{4}\)

\(y=\sqrt{\frac{5}{4}}\)

\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Mamy dalej:

\(x+y=2\)

\(x+\frac{\sqrt{5}}{2}=2\)

\(x=2-\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Możemy wstawić wyznaczoną wartość \(x\) do pierwszego wzoru:

\(h^2=x^2-\frac{1}{4}\)

\(h^2=(2-\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{1}{4}\)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

i otrzymujemy:

\(h^2=4-2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}+(\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{1}{4}\)

\(h^2=4-2\sqrt{5}+\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\)

\(h^2=4-2\sqrt{5}+\frac{4}{4}\)

\(h^2=5-2\sqrt{5}\)

\(h=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\)

ksiązki Odpowiedź

\(h=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\)

© medianauka.pl, 2011-02-09, ZAD-1141

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dane są punkty \(A=(1,1), B=(4,-2)\). Znajdź punkt \(C\), który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy

A. 4

B. 2

C. \(\frac{4}{3}\)

D. 2/3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe

A. \(3\sqrt{3}\)

B. \(4\sqrt{3}\)

C. \(27\sqrt{3}\)

D. \(36\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.