Zadanie - przystawanie trójkątów
Treść zadania:
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic.
Wykażemy najpierw, że trójkąty oznaczone numerami 1,2,3 są przystające, czyli, że istnieje izometria, która przekształca jeden trójkąt w drugi. Skorzystamy z cechy bkb (bok-kąt-bok). Dwa trójkąty są przystające jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio przystające do dwóch boków i kąta zawartego między tymi bokami w drugim trójkącie. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę 60°. Od razu widać, że niektóre boki mniejszych trójkątów mają długość równą połowie długości boku dużego trójkąta, bo to wynika z treści zadania (łączymy środki boków dużego trójkąta). Zatem:
\(\overline{AM}\equiv \overline{CM}\)
\(\overline{AP}\equiv \overline{CN}\)
\(\angle{MAP}\equiv \angle{MCN}\)
Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 1 i 2, zatem trójkąty 1 i 2 są przystające. Analogicznie:
\(\overline{AM}\equiv \overline{BN}\)
\(\overline{AP}\equiv \overline{BP}\)
\(\angle{MAP}\equiv \angle{NBP}\)
Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 2 i 3, zatem trójkąty 2 i 3 są przystające. Analogicznie trójkąty 1 i 3 są przystające.
Wykażemy teraz, że trójkąty te są równoboczne. Trójkąt 1 jest z pewnością równoramienny, gdyż dwa boki mają taką samą długość, równą połowie długości boku dużego trójkąta. W trójkącie równoramiennym kąty wewnętrzne przy podstawie są równe (oznaczmy ten kąt przez \(\alpha\). Ponadto suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa 180°. Zatem:
\(60°+\alpha+\alpha=180°\)
\(2\alpha=120°/:2\)
\(\alpha=60°\)
Ponieważ wszystkie katy w tym trójkącie mają miarę 60°, to trójkąt ten jest równoboczny. Ponieważ trójkąty 1,2,3 są przystające, wszystkie są także równoboczne.
Wykażemy teraz, że trójkąt 4 jest przystający do trójkąta 1. Skorzystamy z cechy kbk (kąt-bok-kąt): dwa trójkąty są przystające jeżeli bok i dwa kąty, leżące przy nim w jednym trójkącie są odpowiednio przystające do boku i kątów leżących przy tym boku w drugim trójkącie. Zauważamy, że bok trójkąta możemy potraktować jak kąt półprosty o mierze 180°. Kąty wewnętrzne w trójkątach 1 i 2 mają miary 60°, więc:
\(60°+\angle{PMN}+60°=180°\)
\(\angle{PMN}=60°\)
Podobnie:
\(60°+\angle{MNP}+60°=180°\)
\(\angle{MNP}=60°\)
Ponieważ bok \(MN\) jest wspólny dla obu trójkątów, spełniona jest cecha kbk dla trójkątów 1 i 2, są więc przystające.
Skoro dwa kąty wewnętrzne mają miarę 60°, to ponieważ suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, to trzeci kąt również ma miarę 60°, zatem trójkąt 4 również jest trójkątem równobocznym.
Podobnie można wykazać, że trójkąt 4 jest przystający do pozostałych trójkątów.
© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1142
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okrąg wpisany w trójkąt \(BCD\) jest styczny do przekątnej \(BD\) w punkcie \(N\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ABD\) jest styczny do boku \(AD\) w punkcie \(M\), a środek \(S\) tego okręgu leży na odcinku \(MN\), jak na rysunku.
Wykaż, że \(|MN|=|AD|\).