Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa

Treść zadania:

Ceny poszczególnych działek są następujące:

A. 60 000 PLN

B. 50 000 PLN

C. 50 000 PLN

D. 100 000 PLN

Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?

Twierdzenie Pitagorasa - zadanie


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dwie działki mają kształt trójkąta. Pole powierzchni trójkąta o podstawie \(a\) i wysokości \(h\) obliczamy ze wzoru:

\(P=\frac{1}{2}ah\)

Pole powierzchni kwadratu o boku a obliczamy ze wzoru:

\(P=a^2\)

Wszystkie działki opierają się o trójkąt prostokątny. Dane są długości jego przyprostokątnych, musimy znaleźć długość przeciwprostokątnej.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

\(c^2=(20\ m)^2+(40\ m)^2\)

\(c^2=400\ m^2+1600\ m^2\)

\(c^2=2000\ m^2\)

\(c=\sqrt{2000\ m^2}\)

\(c=\sqrt{400\cdot 5}\ m^2\)

\(c=20\sqrt{5}\ m\)

Obliczamy pole działki A. Zakładamy na podstawie rysunku, że długość boku działki jest równa połowie długości przeciwprostokątnej:

\(P_A=(\frac{1}{2}c)^2=(\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{5}\ m)^2=(10\sqrt{5}m)^2=100\cdot 5\ m^2=500\ m^2\)

Obliczamy pole działki B.

\(P_B=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 40\ m \cdot 20\ m=400\ m^2\)

Obliczamy pole działki C.

\(P_C=(20\ m)^2=400\ m^2\)

Obliczamy pole działki D.

\(P_D=\frac{1}{2}\cdot 40\ m \cdot 40\ m=800\ m^2\)

Aby porównać ceny poszczególnych działek musimy znaleźć cenę jednego metra kwadratowego każdej z działek. Ta działka, której metr kwadratowy będzie najtańszy będzie działką, której zakup jest najbardziej opłacalny. Aby obliczyć cenę jednego metra kwadratowego działki wystarczy podzielić jej cenę przez powierzchnię.

Cena jednego metra kwadratowego działek:

\(C_A=\frac{60000 PLN}{500\ m^2}=120 \ PLN/\ m^2\)

\(C_B=\frac{50000 PLN}{400\ m^2}=125 \ PLN/\ m^2\)

\(C_C=\frac{50000 PLN}{400\ m^2}=125 \ PLN/\ m^2\)

\(C_D=\frac{100000 PLN}{800\ m^2}=125 \ PLN/\ m^2\)

Z powyższych rachunków wynika, że ceny działek są takie same, za wyjątkiem ceny działki A.

ksiązki Odpowiedź

Zakup działki A jest najbardziej opłacalny.

© medianauka.pl, 2011-02-12, ZAD-1147

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \(\alpha=30°\). Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2, 3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dany jest trójkąt \(A, B, C\) o wierzchołkach \(A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1)\). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

W trójkąt równoramienny o polu \(\sqrt{15}\) wpisano okrąg o promieniu \(r=\frac{\sqrt{15}}{5}\). Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu \(R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\). Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

ilustracja do zadania

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

A. \(14\)

B. \(2\sqrt{33}\)

C. \(4\sqrt{33}\)

D. \(12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Kąt \(CAB\) trójkąta prostokątnego \(ACB\) ma miarę \(30°\). Pole kwadratu \(DEFG\), wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy:

A. \(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B. \(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(3+\sqrt{3}\)

D. \((2+\sqrt{2}\)

Ilustracja do zadania

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\) (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2021

Pole tego trójkąta jest równe

A. \(12\)

B. \(\frac{37}{3}\)

C. \(\frac{62}{5}\)

D. \(\frac{64}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Punkty \(A=(−20, 12)\) i \(B=(7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty — odpowiednio — \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=|AE=\frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Matura 2021, zadanie 8

Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.