Nauka » Matematyka » Pole trójkąta i obwód trójkąta Równania z wartością bezwzględną Iloczyn skalarny

Zadanie - pole trójkąta

Treść zadania:

Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie $A=(1,1)$. Znaleźć taki punkt $C$, leżący na prostej $y=2$, że pole trójkąta $ABC$ jest równe 10.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Ponieważ punkt C leży na prostej $y=2$ jego rzędna jest równa 2. Szukamy odciętej $x$. (Punkt C przesuwamy po prostej $y=2$ i sprawdzamy kiedy pole trójkąta $ABC$ będzie odpowiednie.) Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory $\vec{a}=[a_x,a_y], \ \vec{b}=[b_x,b_y]$ zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|$

Mamy współrzędne wektora $\vec{AB}=[2,5]$, brakuje nam wektora . Znajdziemy jego współrzędne:

$A=(1,1), C=(x,2)$

$\vec{AC}=[x-1,2-1]=[x-1,1]$

Obliczamy wyznacznik:

$\vec{AB}=[2,5], \ \vec{AC}=[x-1,1]\\ W=\begin{vmatrix} 2&5\\x-1&1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(x-1)\cdot 5=2-5x+5=-5x+7$

Pole powierzchni jest dane, równe 10 i jest równe:

$P=\frac{1}{2}|W|$

$P=10$

$10=\frac{1}{2}|-5x+7|/\cdot 2$

$|-5x+7|=20$

Mamy równanie liniowe z wartością bezwzględną. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

otrzymujemy:

Przypadek 1

Dla $-5x+7\geq 0 \Leftrightarrow -5x\geq -7/:(-5) \Leftrightarrow x\leq \frac{7}{5}$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

$-5x+7=20$

$-5x=13/:(-5)$

$x=-\frac{13}{5}$

$x=-3\frac{3}{5}$

$C=(-3\frac{3}{5},2)$

Przypadek 2

Dla $-5x+7< 0 \Leftrightarrow x>\frac{7}{5}$ możemy opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

$5x-7=20$

$5x=27/:5$

$x=\frac{27}{5}$

$x=5\frac{2}{5}$

$C=(5\frac{2}{5},2)$

Zadanie ma więc dwa rozwiązania:

Odpowiedź

$C=(-3\frac{3}{5},2) \ lub \ C=(5\frac{2}{5},2)$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Wektory $\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole rombu $ABCD$, jeżeli wiadomo, że $A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pole równoległoboku $ABCD$, jeżeli wiadomo, że $A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[4,8], \vec{b}=[2,-1]$ są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Jaki kąt tworzą ze sobą wektory $\vec{a}, \vec{b}$, jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy $1$, a długości tych wektorów są równe odpowiednio $2$ i $1$?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest wektor $\vec{a}=[4,-5]$. Oblicz $\vec{a}\circ 2\vec{a}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dane są wektory $\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j}, \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}$. Oblicz $\vec{a}\circ \vec{b}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Czy trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{a}=[-2,4], \vec{b}=[3,1]$ jest trójkątem prostokątnym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[12,24], \vec{b}=[-3,-6]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dla jakiej wartości parametru $m$ wektory $\vec{a}=[2,-3], \vec{b}=[5,3m]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Dla jakiej wartości parametru $m$ wektory $\vec{a}=[m,3], \vec{b}=[4,-2m+1]$ są prostopadłe?

Pokaż rozwiązanie zadania.