Zadanie - pole trójkąta

Treść zadania:

W trójkąt równoramienny o polu \(\sqrt{15}\) wpisano okrąg o promieniu \(r=\frac{\sqrt{15}}{5}\). Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu \(R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\). Oblicz długości boków tego trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z dwóch wzorów na pole trójkąta, gdy dane są promienie okręgu wpisanego i opisanego:

\(P=\frac{abc}{4R}\)

\(P=\frac{a+b+c}{2}r\)

My mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, czyli długość dwóch boków jest taka sama. Oznaczmy długość ramienia przez \(a\) i podstawy trójkąta przez \(b\). Pierwszy z powyższych wzorów przyjmie postać (po uwzględnieniu danego pola oraz promienia okręgu opisanego):

\(P=\frac{a\cdot a\cdot b}{4R}\)

\(P=\frac{a^2b}{4R}/\cdot 4R\)

\(a^2b=4RP\)

\(P=\sqrt{15}\)

\(R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\)

\(a^2b=4\cdot \frac{8\sqrt{15}}{15} \cdot \sqrt{15}\)

\(a^2b=32\)

Drugi z przytoczonych wyżej wzorów przyjmuje postać:

\(P=\frac{a+a+b}{2}\cdot r\)

\(P=\frac{2a+b}{2}r/\cdot \frac{2}{r}\)

\(2a+b=\frac{2P}{r}\)

\(P=\sqrt{15}\)

\(r=\frac{\sqrt{15}}{5}\)

\(2a+b=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}\)

\(2a+b=10\)

Otrzymaliśmy dwa równania i mamy dwie niewiadome. Rozwiązujemy układ równań:

\begin{cases}a^2b=32\\ 2a+b=10\end{cases}\\ \begin{cases}a^2b=32\\ b=10-2a\end{cases}\\ a^2(10-2a)=32\\ 10a^2-2a^3-32=0/:(-2)\\ a^3-5a^2+16=0

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy pośród dzielników wyrazu wolnego:

\(W(2)=2^3-5\cdot 2^2+16=8-20+16=4\neq 0\)

\(W(4)=4^3-5\cdot 4^2+16=64-80+16=0\)

Liczba 4 jest pierwiastkiem równania. Dzielimy pisemnie wielomiany:

(a^3-5a^2+16):(a-4)=a^2-a-4\\ \underline{a^3-4a^2}\\ \ \ \ -a^2+16\\ \ \ \ \underline{-a^2+4a} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4a+16\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4a+16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0

Nasze równanie \(a^3-5a^2+16=0\) możemy zapisać w postaci:

\((a-4)(a^2-a-4)=0\)

Drugi z nawiasów zawiera trójmian kwadratowy, który teraz rozkładamy na czynniki:

\(a^2-a-4\)

\(\Delta_a=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\)

\(a_1=\frac{-(-1)-\sqrt{17}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0\)

\(a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)

Pierwsze z rozwiązań musimy odrzucić, gdyż długość boku trójkąta nie może być ujemna. Równanie przyjmuje postać:

\((a-4)(a-\frac{1-\sqrt{17}}{2})(a+\frac{1+\sqrt{17}}{2})=0\)

Przyjmujemy dwa rozwiązania z powyższych trzech i wracamy do naszego układu równań, aby wyznaczyć długość boku \(b\) trójkąta.

b=10-2a\\ \begin{cases}a_1=4\\ b_1=10-2a_1=10-8=2\end{cases}\\  \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=10-2\cdot \frac{1+\sqrt{17}}{2}=10-(1+\sqrt{17})=9-\sqrt{17}\end{cases}

ksiązki Odpowiedź

\begin{cases}a_1=4\\ b_1=2\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=9-\sqrt{17}\end{cases}

© medianauka.pl, 2011-02-13, ZAD-1155

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Ceny poszczególnych działek są następujące:

A. 60 000 PLN

B. 50 000 PLN

C. 50 000 PLN

D. 100 000 PLN

Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?

Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \(\alpha=30°\). Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2, 3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dany jest trójkąt \(A, B, C\) o wierzchołkach \(A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1)\). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

ilustracja do zadania

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

A. \(14\)

B. \(2\sqrt{33}\)

C. \(4\sqrt{33}\)

D. \(12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Kąt \(CAB\) trójkąta prostokątnego \(ACB\) ma miarę \(30°\). Pole kwadratu \(DEFG\), wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy:

A. \(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B. \(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(3+\sqrt{3}\)

D. \((2+\sqrt{2}\)

Ilustracja do zadania

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\) (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2021

Pole tego trójkąta jest równe

A. \(12\)

B. \(\frac{37}{3}\)

C. \(\frac{62}{5}\)

D. \(\frac{64}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Punkty \(A=(−20, 12)\) i \(B=(7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty — odpowiednio — \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=|AE=\frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Matura 2021, zadanie 8

Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.