Nauka » Matematyka » Pole trójkąta i obwód trójkąta

Zadanie - pole trójkąta

Treść zadania:

W trójkąt równoramienny o polu $\sqrt{15}$ wpisano okrąg o promieniu $r=\frac{\sqrt{15}}{5}$. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu $R=\frac{8\sqrt{15}}{15}$. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z dwóch wzorów na pole trójkąta, gdy dane są promienie okręgu wpisanego i opisanego:

$P=\frac{abc}{4R}$

$P=\frac{a+b+c}{2}r$

My mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, czyli długość dwóch boków jest taka sama. Oznaczmy długość ramienia przez $a$ i podstawy trójkąta przez $b$. Pierwszy z powyższych wzorów przyjmie postać (po uwzględnieniu danego pola oraz promienia okręgu opisanego):

$P=\frac{a\cdot a\cdot b}{4R}$

$P=\frac{a^2b}{4R}/\cdot 4R$

$a^2b=4RP$

$P=\sqrt{15}$

$R=\frac{8\sqrt{15}}{15}$

$a^2b=4\cdot \frac{8\sqrt{15}}{15} \cdot \sqrt{15}$

$a^2b=32$

Drugi z przytoczonych wyżej wzorów przyjmuje postać:

$P=\frac{a+a+b}{2}\cdot r$

$P=\frac{2a+b}{2}r/\cdot \frac{2}{r}$

$2a+b=\frac{2P}{r}$

$P=\sqrt{15}$

$r=\frac{\sqrt{15}}{5}$

$2a+b=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}$

$2a+b=10$

Otrzymaliśmy dwa równania i mamy dwie niewiadome. Rozwiązujemy układ równań:

$\begin{cases}a^2b=32\\ 2a+b=10\end{cases}\\ \begin{cases}a^2b=32\\ b=10-2a\end{cases}\\ a^2(10-2a)=32\\ 10a^2-2a^3-32=0/:(-2)\\ a^3-5a^2+16=0$

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy pośród dzielników wyrazu wolnego:

$W(2)=2^3-5\cdot 2^2+16=8-20+16=4\neq 0$

$W(4)=4^3-5\cdot 4^2+16=64-80+16=0$

Liczba 4 jest pierwiastkiem równania. Dzielimy pisemnie wielomiany:

$(a^3-5a^2+16):(a-4)=a^2-a-4\\ \underline{a^3-4a^2}\\ \ \ \ -a^2+16\\ \ \ \ \underline{-a^2+4a} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4a+16\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4a+16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Nasze równanie $a^3-5a^2+16=0$ możemy zapisać w postaci:

$(a-4)(a^2-a-4)=0$

Drugi z nawiasów zawiera trójmian kwadratowy, który teraz rozkładamy na czynniki:

$a^2-a-4$

$\Delta_a=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17$

$a_1=\frac{-(-1)-\sqrt{17}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0$

$a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Pierwsze z rozwiązań musimy odrzucić, gdyż długość boku trójkąta nie może być ujemna. Równanie przyjmuje postać:

$(a-4)(a-\frac{1-\sqrt{17}}{2})(a+\frac{1+\sqrt{17}}{2})=0$

Przyjmujemy dwa rozwiązania z powyższych trzech i wracamy do naszego układu równań, aby wyznaczyć długość boku $b$ trójkąta.

$b=10-2a\\ \begin{cases}a_1=4\\ b_1=10-2a_1=10-8=2\end{cases}\\ \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=10-2\cdot \frac{1+\sqrt{17}}{2}=10-(1+\sqrt{17})=9-\sqrt{17}\end{cases}$

Odpowiedź

$\begin{cases}a_1=4\\ b_1=2\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=9-\sqrt{17}\end{cases}$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty $A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)$.