Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Treść zadania:
Znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), gdzie \(A=(2,0), B=(1,2), C=(-2,-1)\).
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic, na którym zaznaczamy symetralne dwóch boków trójkąta (nie musimy analizować trzech symetralnych, gdyż i tak wszystkie przecinają się w tym samym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie).
Szukamy punktu przecięcia się symetralnych (zaznaczonych na rysunku kolorem pomarańczowym). Dane są tylko wierzchołki. Musimy zatem znaleźć równania prostych zawierających boki trójkąta, środki tych boków, następnie równania symetralnych i rozwiązać układ tych równań.
Szukamy prostej wyznaczonej przez punkty \(A,B,\) podstawiając ich współrzędne do równania kierunkowego prostej:
Szukamy prostej wyznaczonej przez punkty \(A,C\), podstawiając ich współrzędne do równania kierunkowego prostej:
Szukamy środków boków trójkąta korzystając ze wzoru na środek odcinka \(S(x_s,y_s)\), wyznaczonego przez punkty \(A,B\):
\(x_S=\frac{x_A+x_B}{2}\)
\(y_S=\frac{y_A+y_B}{2}\)
Mamy więc dla odcinka \(AB\):
\(x_{AB}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}\)
\(y_{AB}=\frac{0+2}{2}=1\)
Symetralna \(m\) przechodzi przez środek odcinka \(AB\), który właśnie wyznaczyliśmy i jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek \(AB\). Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek:
Mamy więc
\(m: \ y=a_mx+b_m\)
\(a_m=-\frac{1}{a_1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(y=\frac{1}{2}x+b_m\)
\(S_{AB}=(\frac{3}{2},1)\)
\(1=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}x+b_m\)
\(b_m=1-\frac{3}{4}\)
\(b_m=\frac{1}{4}\)
\(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\)
Podobne rachunki wykonujemy dla symetralnej \(n\):
\(x_{AC}=\frac{2+(-2)}{2}=0\)
\(y_{AC}=\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}\)
\(n: \ y=a_nx+b_n\)
\(a_n=-\frac{1}{a_2}=-\frac{1}{\frac{1}{4}}=-4\)
\(y=-4x+b_n\)
\(S_{AC}=(0,-\frac{1}{2})\)
\(-\frac{1}{2}=-4\cdot 0+b_n\)
\(b_n=-\frac{1}{2}\)
\(y=-4x-\frac{1}{2}\)
Mamy równania symetralnych, szukamy ich punktu przecięcia, rozwiązując układ równań:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-16, ZAD-1164
