Zadanie - pole i obwód prostokąta
Treść zadania:
Obwód prostokąta jest równy 10, długość jego przekątnej \(\sqrt{13}\). Oblicz pole tego prostokąta.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Dany jest obwód prostokąta, więc:
\(2a+2b=10/:2\)
\(a+b=5\)
\(b=5-a\)
Skorzystamy bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. Mamy więc:
\(a^2+b^2=d^2\)
\(d=\sqrt{13}\)
\(b=5-a\)
\(a^2+(5-a)^2=(\sqrt{13})^2\)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
Otrzymujemy:
\(a^2+5^2-2\cdot 5\cdot a+a^2=13\)
\(a^2+25-10a+a^2-13=0\)
\(2a^2-10a+12=0/:2\)
\(a^2-5a+6=0\)
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i znajdujemy pierwiastki równania:
\(\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\)
\(\sqrt{\Delta}=1\)
\(a_1=\frac{-(-5)-1}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\)
\(a_2=\frac{-(-5)+1}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\)
Jeżeli nie rozumiesz sposobu obliczenia pierwiastków zajrzyj tutaj.
wyznaczamy długość boku \(b\):
\(b=5-a\)
\(b_1=5-2=3\)
\(b_2=5-3=2\)
Obliczamy pole kwadratu:
\(P=a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2=6\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-18, ZAD-1168
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile będzie kosztował zakup kafli podłogowych dla przedstawionego na rysunku planu łazienki, jeżeli na ścinki i uszkodzenia założymy 5% rezerwy, zaokrąglając liczbę metrów kwadratowych w górę, a metr kwadratowy kafelek kosztuje 45 zł?
Zadanie nr 2.
Oblicz pole prostokąta, którego przekątne każda o długości 10 tworzą ze sobą kąt 30°.
Zadanie nr 3.
Pole prostokąta, którego przekątne tworzą ze sobą kąt 30°, jest równe 16. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a<b\). Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ……… oraz ……… .
A. \(\begin{cases}2ab=30\\a-b=5\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}2a+b=30\\a=5b\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}2a+2b=30\\b=5a\end{cases}\)
E. \(\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}\)
F. \(\begin{cases}a+b=30\\a=b+5\end{cases}\)