Zadanie - równanie dwusiecznej kąta

Treść zadania:

Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\) i \(y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu \(P=(x,y)\) od prostej \(Ax+By+C=0\), która wyrażona jest wzorem:

\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Trzeba zmienić postaci równań prostych z równań kierunkowych na postać występującą w powyższym wzorze:

\(y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}/\cdot 4\)

\(4y=-3x+2\)

\(3x+4y-2=0\)

Dla drugiej prostej:

\(y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}/\cdot 3\)

\(3y=4x+5\)

\(-4x+3y-5=0\)

Odległość dowolnego punktu \(P=(x,y)\) dwusiecznej kąta od prostej \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\) będzie więc równa:

\(3x+4y-2=0\)

\(A=3, \ B=4,\ C=-2\)

\(P=(x,y)\)

\(d_1=\frac{|3x+4y-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3x+4y-2|}{\sqrt{25}}=\frac{|3x+4y-2|}{5}\)

Odległość dowolnego punktu \(P=(x,y)\) dwusiecznej kąta od prostej\(y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\) będzie więc równa:

\(-4x+3y-5=0\)

\(A=-4, \ B=3,\ C=-5\)

\(P=(x,y)\)

\(d_2=\frac{|-4x+3y-5|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}}=\frac{|-4x+3y-5|}{\sqrt{25}}=\frac{|-4x+3y-5|}{5}\)

Jak wcześniej wspominano dla punktów dwusiecznej odległości te są równe, więc:

\(d_1=d_2\)

\(\frac{|3x+4y-2|}{5}=\frac{|-4x+3y-5|}{5}/\cdot 5\)

\(|3x+4y-2|=|-4x+3y-5|\)

Ponieważ mamy do czynienia z wartościami bezwzględnymi musimy rozpatrzyć kilka przypadków w zależności od wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną.

1) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną większych od zera lub równych zero możemy opuścić wartości bezwzględne (ponieważ mamy tutaj równanie z dwoma niewiadomymi warunek ten będzie spełniony dla wszystkich punktów jednego kąta z czterech wyznaczonego przez dwie proste):

\(3x+4y-2=-4x+3y-5\)

\(4y-3y=-4x-3x-5+2\)

\(y=-7x-3\)

2) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki obu wyrażeń na przeciwne:

\(-(3x+4y-2)=-(-4x+3y-5)/\cdot(-1)\)

\(4y-3y=-4x-3x-5+2\)

\(y=-7x-3\)

Otrzymaliśmy to samo równanie.

3) i 4) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera w jednym przypadku i większych lub równych zero w drugim przypadku (otrzymamy ten sam wynik) możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki jednego z wyrażeń na przeciwny:

\(-(3x+4y-2)=-4x+3y-5\)

\(-4y-3y=3x-4x-5-2\)

\(-7y=-x-7/:(-7)\)

\(y=\frac{1}{7}x+1\)

Sprawdźmy nasze rozwiązanie, sporządzając szkic wykresu:

Dwusieczne kąta w układzie współrzędnych

ksiązki Odpowiedź

\(y=-7x-3, \ y=\frac{1}{7}x+1\)

© medianauka.pl, 2011-02-19, ZAD-1174

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Dwusieczne czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P, Q, R, S\) (zobacz rysunek).

rysunek do zanaia 9, matura 2015

Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.