Zadanie - pole równoległoboku
Treść zadania:
Długość krótszego boku równoległoboku oraz jednej z jego przekątnych jest równa. Oblicz pole powierzchni tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że drugi z boków jest razy dłuższy od pierwszego.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Zauważmy, że bok równoległoboku i jedna z przekątnych mają tę samą długość, powstaje więc trójkąt równoramienny, którego wysokość dzieli drugi z boków na dwie równe części. Długość \(x\) jest więc równa połowie długości drugiego z boków. Mamy obliczyć pole powierzchni. Mając daną długość boku wystarczy znaleźć długość wysokości równoległoboku. Wiemy, że długość b jest \(\sqrt{2}\) razy większa od długości boku \(a\):
\(b=\sqrt{2}b=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2=4\)
\(x=\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}\cdot 4=2\)
Skorzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, który stanowi połowę trójkąta równoramiennego:
\(h^2+x^2=a^2\)
\(h^2=a^2-x^2\)
\(h^2=(2\sqrt{2})^2-2^2\)
\(h^2=4\cdot 2-4\)
\(h^2=4\\ h=2\)
Możemy przystąpić do obliczenia pola powierzchni. Skorzystamy ze wzoru:
Mamy więc:
\(P=bh=4\cdot 2=8\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-03-03, ZAD-1186
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jedna z wysokości w równoległoboku o polu 10 ma długość 2, druga z wysokości ma długość 4. Oblicz obwód tego równoległoboku.
Zadanie nr 2.
Kąt między dwoma bokami równoległoboku o długościach 5 cm i 6 cm ma miarę równą 30°. Oblicz pole tego równoległoboku.
Zadanie nr 3.
Obliczyć pole równoległoboku \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3)\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano — odpowiednio — punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).
Pole czworokąta \(APCR\) jest równe
A. 36
B. 40
C. 54
D. 60
Zadanie nr 5 — maturalne.
Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe
A. \(30\sqrt{3}\)
B. \(30\)
C. \(60\sqrt{3}\)
D. \(60\)