Zadanie - pole i obwód rombu
Treść zadania:
Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Aby obliczyć pole rombu, możemy skorzystać ze wzoru:
Musimy znaleźć długości obu przekątnych rombu. Przekątna \(d_1)rombu ma długość przekątnej kwadratu. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego powstałego po przecięciu kwadratu na dwie części przez przekątną:
\(d_1^2=1^2+1^2\)
\(d_1^2=2\)
\(d_1=\sqrt{2}\)
Druga z przekątnych rombu stanowi połowę długości przekątnej kwadratu:
\(d_2=\frac{1}{2}\cdot d_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Obliczamy pole, korzystając z przytoczonego wyżej wzoru:
\(P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2}=\frac{1}{2}\)
W celu obliczenia obwodu rombu, który dany jest wzorem:
musimy znaleźć długość boku a. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zaznaczonego na rysunku.
Mamy więc:
\(a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\)
\(a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\)
\(a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\)
\(a=\frac{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}{2}\)
\(a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\)
\(a=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}\)
\(a=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(a=\frac{\sqrt{10}}{4}\)
Obliczamy obwód:
\(L=4a=4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\sqrt{10}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-03-03, ZAD-1187
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz pole rombu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)\).
Zadanie nr 2.
Dany jest romb o boku \(a=\sqrt{2}\). Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.
Zadanie nr 3.
Wysokość rombu o polu 3 ma wartość \(\frac{3}{2}\). Oblicz obwód tego rombu.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha\). Wtedy:
A. \(14°<\alpha< 15°\)
B. \(29°<\alpha< 30°\)
C. \(60°<\alpha< 61°\)
D. \(75°<\alpha< 76°\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy 1:3.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
A. 8
B. 12
C. \(8\sqrt{3}\)
D. 16