Zadanie - pole powierzchni rombu
Treść zadania:
Oblicz pole rombu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru na pole rombu, gdy dane są wektory go wyznaczające. Pole P rombu wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.
Wystarczy, że znajdziemy współrzędne wektorów, wyznaczających ten równoległobok. Warto sporządzić szkic.
Obliczamy współrzędne wektorów (jeżeli nie wiesz jak to się robi przeczytaj ten artykuł):
\(A=(2,0), D=(3,2)\)
\(\vec{a}=\vec{AD}=[1-2,2-0]=[-1,2]\)
\(A=(2,0), B=(3,2)\)
\(\vec{b}=\vec{AB}=[3-2,2-0]=[1,2]\)
Mamy dane współrzędne wektorów, możemy obliczyć wyznacznik W:
\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\)
\(W=\begin{vmatrix} -1&2\\1&2 \end{vmatrix}=-1\cdot 2-2\cdot 1=-2-2=-4\)
Obliczamy pole równoległoboku:
\(P=|W|=|-4|=4\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-03-03, ZAD-1188
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.
Zadanie nr 2.
Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.
Zadanie nr 3.
Obliczyć pole równoległoboku \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3)\).
Zadanie nr 4.
Zbadać, czy wektory \(\vec{a}=[4,8], \vec{b}=[2,-1]\) są prostopadłe.
Zadanie nr 5.
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory \(\vec{a}, \vec{b}\), jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy \(1\), a długości tych wektorów są równe odpowiednio \(2\) i \(1\)?
Zadanie nr 6.
Dany jest wektor \(\vec{a}=[4,-5]\). Oblicz \(\vec{a}\circ 2\vec{a}\).
Zadanie nr 7.
Dane są wektory \(\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j}, \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}\). Oblicz \(\vec{a}\circ \vec{b}\).
Zadanie nr 8.
Czy trójkąt wyznaczony przez wektory \(\vec{a}=[-2,4], \vec{b}=[3,1]\) jest trójkątem prostokątnym?
Zadanie nr 9.
Zbadać, czy wektory \(\vec{a}=[12,24], \vec{b}=[-3,-6]\) są równoległe.
Zadanie nr 10.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{a}=[2,-3], \vec{b}=[5,3m]\) są równoległe.
Zadanie nr 11.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{a}=[m,3], \vec{b}=[4,-2m+1]\) są prostopadłe?