Zadanie - długość wektora i równanie okręgu

Treść zadania:

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Oznaczmy współrzędne punktu \(B\) przez \(B=(x,y)\). Wektor \(\vec{AB}\) ma wówczas współrzędne:

Powołujemy się na twierdzenie, że jeżeli wektor \(\vec{AB}=[a_x,a_y]\) leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:

\(a_x=x_B-x_A\)

\(a_y=y_B-y_A\)

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku \(A=(x_A,y_A)\) i końca \(B=(x_B,y_B)\). Możemy więc zapisać, że:

\(\vec{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]\)

Korzystamy wprost z powyższego wzoru:

\(A=(-1,1), \ B=(x,y)\)

\(\vec{AB}=[x-(-1),y-1]=[x+1,y-1]\)

Korzystamy ze wzoru na długość wektora \(\vec{a}=[a_x,a_y]\)

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Wiemy, że długość naszego wektora jest równa 4. Mamy więc:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=4 /^2\)

\((x+1)^2+(y-1)^2=4^2\)

Otrzymaliśmy równanie z dwoma niewiadomymi. Pamiętamy, że równanie w postaci:

\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)

jest równaniem okręgu o środku w punkcie \(S=(x_s,y_s)\) i promieniu \(r\). Zatem nasz punkt B to dowolny punkt okręgi o środku \(S=(-1,1)\) i promieniu \(r=4\).

ksiązki Odpowiedź

Punkt B to dowolny punkt okręgi o środku \(S=(-1,1)\) i promieniu \(r=4\)

© medianauka.pl, 2011-03-05, ZAD-1199

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.