Nauka » Matematyka » Rzut prostokątny

Zadanie - rzut prostokątny

Treść zadania:

Znaleźć obraz okręgu $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ w rzucie prostokątnym na prostą $y=x$.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Ilustracja do zadania 700 - rzut prostokątny

Obrazem okręgu w rzucie prostokątnym jest odcinek $\overline{P_1P_2}$. Znajdziemy współrzędne tych punktów. Przyjmujemy następujący tok rozumowania: Znajdziemy środek okręgu i jego obraz w rzucie prostokątnym. Punkty $P_1$,$ P_2$są równoodległe od obrazu środka okręgu. Odległość ta jest równa promieniowi okręgu.

Równanie okręgu ma postać:

$(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2$

Mamy więc do czynienia z okręgiem:

$(x-2)^2+(y-1)^2=2^2$

$O=(2,1), \ r=2$

Niech obraz punktu $O$ ma współrzędne $O'=(x,y)$. Punkty $O$ i $O'$ leżą na prostej prostopadłej do rzutni $y=x$. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają zależność:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Mamy więc:

$y=ax+b$

$a=-\frac{1}{1}=-1$

$y=-x+b$

$O=(2,1)$

$1=-2+b$

$b=3$

$y=-x+3$

Punkt $O'$ leży na przecięciu się rzutni i kierunku rzutu. Wystarczy więc rozwiązać układ równań, aby znaleźć współrzędne obrazu środka okręgu.

$\underline{+\ \ \ \begin{cases} y=x\\ y=-x+3 \end{cases}}\\ 2y=3/:2\\ y=\frac{3}{2}\\ x=\frac{3}{2}\\ O'=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

Skorzystamy teraz ze wzoru na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych:

$|AB|=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_B)^2}$

Szukamy więc punktu $P=(x,y)$, odległego od punktu $O'$ o $r=2$:

$\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2}=2$

$y=x$

$\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(x-\frac{3}{2})^2}=2$

$\sqrt{2(x-\frac{3}{2})^2}=2/^2$

$2(x-\frac{3}{2})^2=4/:2$

$(x-\frac{3}{2})^2=2\\ x^2-3x+\frac{9}{4}-2=0$

$x^2-3x+\frac{1}{4}=0/\cdot 4$

$4x^2-12x+1=0 $

$\Delta=144-16=128$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$

$x_1=\frac{-(-12)+8\sqrt{2}}{8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\approx 2,91$

$x_2=\frac{-(-12)-8\sqrt{2}}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\approx 0,09$

Pamiętamy, że punkt ten ma leżeć na tej samej prostej $y=x$, co punkt $O'$:

$P_1=(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}, \frac{3+2\sqrt{2}}{2})\\ P_2=(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}, \frac{3-2\sqrt{2}}{2})$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz punktu $P=(2,3)$ w rzucie prostokątnym na prostą $y=-x+2$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz kwadratu w rzucie prostokątnym na prostą przechodzącą przez środki dwóch sąsiadujących boków.

Pokaż rozwiązanie zadania.