Zadanie - obrót, znajdowanie obrazu prostej
Treść zadania:
Znaleźć obraz prostej \(y=-2x+6\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(60°\).
Rozwiązanie zadania
W obrocie dookoła punktu \(O\) (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \(\angle \vec{\alpha}\) obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:
\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \)
\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}\)
oraz
\(x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \)
\(y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}\)
Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:
\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}=x'\cos{60^o}+y'\sin{60^o}=x'\cdot \frac{1}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{60^o}+y'\cos{60^o}=-x'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+y'\cdot \frac{1}{2}\)
Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:
\(y=-2x+6\)
\(-x'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}y'=-2(\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y')+6\)
\(\frac{1}{2}y'=-x'-\sqrt{3}y'+\frac{\sqrt{3}}{2}x'+6\)
\(\frac{1}{2}y'+\sqrt{3}y'=\frac{\sqrt{3}}{2}x'-x'+6/\cdot 2\)
\(y'+2\sqrt{3}y'=\sqrt{3}x'-2x'+12\)
\((1+2\sqrt{3})y'=(\sqrt{3}-2)x'+12/:(1+2\sqrt{3})\)
\(y'=\frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x'+\frac{12}{1+2\sqrt{3}}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-03-20, ZAD-1249
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz punktu \(P=(2,4)\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(30°\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć obraz krzywej \(y=x^3\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(90°\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć obraz wykresu funkcji \(y=|x|\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(45°\).