Zadanie - obrót

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

W obrocie dookoła punktu /(O/) (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \(\angle \vec{\alpha}\) obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

oraz

Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:

\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} =x'\cos{45^o}+y'\sin{45^o}=x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{45^o}+y'\cos{45^o}=-x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Mamy tutaj do czynienia z wartością bezwzględną. Zgodnie z jej definicją mamy:

Rozpatrujemy więc dwa przypadki:

\(1) x\geq 0\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\geq 0/:\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(x'+y'\geq 0\)

\(y'\geq -x\)

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

\(y=|x|=x\)

\(-x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}y'= \frac{\sqrt{2}}{2}x'+ \frac{\sqrt{2}}{2}y'/:\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(-x'+y'=x'+y'\)

\(-2x'=0/:(-2)\)

\(x'=0\)

Aby lepiej zrozumieć powyższy warunek i rachunki warto sporządzić szkic rysunku.

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment wykresu funkcji \(y=|x|\) dla x większych lub równych zero. Obrazu prostej szukamy tylko w dla \(y'\geq -x'\) (obszar zakreskowany), a więc jest to prosta \(x=0\) tylko w zakreskowanym obszarze

Rozpatrujemy drugi przypadek:

\(2) x<0\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'< 0/:\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(x'+y'<0\)

\(y'<-x'\)

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

\(y=|x|=-x\)

\(-x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}y'=-\frac{\sqrt{2}}{2}x'-\frac{\sqrt{2}}{2}y'/:\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(-x'+y'=-x'-y'\)

\(-2y'=0/:(-2)\)

\(y'=0\)

Aby lepiej zrozumieć powyższy warunek i rachunki warto sporządzić drugi szkic rysunku.

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment wykresu funkcji \(y=|x|\) dla x mniejszych od zera. Obrazu prostej szukamy tylko w dla \(y'<-x'\)(obszar zakreskowany), a więc jest to prosta \(y=0\) tylko w zakreskowanym obszarze

Łączymy oba szkice w jeden:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-03-20, ZAD-1250

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne