Nauka » Matematyka » Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Zadanie - funkcje trygonometryczne

Treść zadania:

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości \(a\), ramionach długości \(b\), kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \(\beta\) oraz \(\alpha\) przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość \(h\) na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \(\beta, \frac{\alpha}{2}\).

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek:

Szkic do zadania 723, trójkąt równoboczny - oznaczenia

Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Możemy więc zgodnie z definicją funkcji trygonometrycznych określić poszczególne funkcje dla kąta \(\beta\):

\(\sin{\beta}=\frac{h}{b}\)

\(\cos{\beta}=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{a}{2b}\)

\(tg{\beta}=\frac{h}{\frac{a}{2}}=\frac{2h}{a}\)

\(ctg{\beta}=\frac{\frac{a}{2}}{h}=\frac{a}{2h}\)

\(*)\ sec\beta=\frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{2b}{a}\)

\(*)\ cosec\beta=\frac{b}{h}\)

*) funkcje secans i cosecans określono dodatkowo (ponadprogramowo)

Określamy poszczególne funkcje dla kąta \(\frac{\alpha}{2}\):

\(\sin{\frac{\alpha}{2}}= \frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{a}{2b}\)

\(\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{h}{b}\)

\(tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{h}=\frac{a}{2h}\)

\(ctg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}}=\frac{2h}{a}\)

\(*)\ sec\frac{\alpha}{2}=\frac{b}{h}\)

\(*)\ cosec\frac{\alpha}{2}=\frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{2b}{a}\)

*) funkcje secans i cosecans określono dodatkowo (ponadprogramowo)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości \(a=\sqrt{2}\). Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości \(d=2\sqrt{3}\) tworzy z podstawą kąt \(\alpha=30°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć promień \(R\) okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt \(r=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=\frac{2}{3}\). Wtedy:

A. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

B. \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}\)

C. \(\sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

D. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi\)

B. \(18\pi\)

C. \(24\pi\)

D. \(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy