Zadanie - wzory redukcyjne
Treść zadania:
Sprowadzić do prostszej postaci:
a) \(\sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\)
b) \(\cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\)
c) \(tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}\)
Rozwiązanie zadania
\(a)\ \sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\)
Skorzystamy z następujących wzorów redukcyjnych:
\(\sin{(180^o-\alpha)}=\sin{\alpha}\)
\(\cos{(90^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
Mamy więc:
\(\sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}=\sin{x}-\sin{x}=0\)
\(b)\ \cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\)
Skorzystamy z następujących wzorów redukcyjnych:
\(\cos{(180^o-\alpha)}=-\cos{\alpha}\)
\(\sin{(90^o-\alpha)}=\cos{\alpha}\)
Ponieważ mierze łukowej \(\pi\) odpowiada 180° mamy więc:
\(\cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=\cos{(180^o-x)}\sin{(90^o-x)}=-\cos{x}\cdot \cos{x}=-\cos^2{x}\)
\(c)\ tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}\)
Okresem funkcji tangens jest 180°, więc:
\(tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}=tg{(180^o+90^o-x)}tg{(180^o+x)}=tg{(90^o-x)}tg{(180^o+x)}\)
Skorzystamy z następujących wzorów redukcyjnych:
\(tg{(180^o+\alpha)}=tg{\alpha}\)
\(tg{(90^o-\alpha)}=ctg{\alpha}\)
Mamy więc:
\(tg{(90^o-x)}tg{(180^o+x)}=ctg{x}\cdot tg{x}=\frac{1}{tg{x}}\cdot tg{x}=1\)
Skorzystaliśmy tutaj z tożsamości:\(ctg{x}=\frac{1}{tg{x}}\)
Odpowiedź
\(a)\ \sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}=0\)
\(b)\ \cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=-\cos^2{x}\)
\(c)\ tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}=1\)
© medianauka.pl, 2011-04-09, ZAD-1291
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć:
a) \(\sin{30°}\)
b) \(\cos{3285°}\)
c) \(tg{1125°}\)
d) \(ctg{210°}\)
Zadanie nr 2.
Obliczyć:
a) \(\sin{(-45°)}\)
b) \(ctg{(-60°)}\)
c) \(\cos{(-90°)}\)
Zadanie nr 3.
Obliczyć:
a) \(\sin{120°}\)
b) \(\cos{135°}\)
c) \(\cos{240°}\)
d) \(\sin{225°}\)
Zadanie nr 5.
Obliczyć:
a) \(\sin{960°}\)
b) \(tg{2115°}\)
c) \(\cos{2760°}\)
Zadanie nr 6.
Sprowadzić do prostszej postaci:
a) \(\sin{(-x)}-\cos{(270°-x)}\)
b) \(\sin{(x-90°)}\)
c) \(\cos{(x-\pi)}\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Jeśli \(m=\sin{50°}\), to
A. \(m=\sin40°\)
B. \(m=\cos40°\)
C. \(m=\cos50°\)
D. \(m=tg50°\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba \(cos{12°}\cdot \sin{78°}+\sin{12°}\cdot \cos{78°}\) jest równa
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\frac{2}{9}\)
D. 1