Zadanie - okres funkcji
Treść zadania:
Znaleźć okres podstawowy funkcji:
a) \(y=3ctg{\frac{x}{\pi}}\)
b) \(y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}\)
UWAGA: niżej użyta metoda może być stosowana wyłącznie, gdy badaną funkcję można sprowadzić do jednej funkcji trygonometrycznej.
a) Rozwiązanie zadania
Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz \(f(x)=f(x+T)\)
Nasza funkcja ma postać:
\(f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}\)
Dla każdej wartości \(x\) i \(x+T\), powinien być spełniony warunek: \(f(x)=f(x+T)\). Obliczmy wartość funkcji \(f(x+T)\) (podstawiamy do wzoru funkcji za \(x\) wartość \(x+T\)):
\(f(x+T)=3ctg{\frac{x+T}{\pi}}\)
Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:
gdzie w naszym przypadku \(alpha=\frac{x}{\pi}\). Przekształcamy naszą funkcję:
\(f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\pi)}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\frac{\pi^2}{\pi})}=3ctg{\frac{x+\pi^2}{\pi}}=f(x+T)\)
Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:
Odpowiedź
b) Rozwiązanie zadania
Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby \(x\) z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz \(f(x)=f(x+T)\)
Nasza funkcja ma postać:
\(f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}\)
Dla każdej wartości \(x\) i \(x+T\), powinien być spełniony warunek: \(f(x)=f(x+T)\). Obliczmy wartość funkcji \(f(x+T)\) (podstawiamy do wzoru funkcji za \(x\) wartość \(x+T\)):
\(f(x+T)=2\cos{(x+T+\frac{\pi}{7})}\)
Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:
gdzie w naszym przypadku \(\alpha=x+\frac{\pi}{7}\). Przekształcamy naszą funkcję:
\(f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}=2\cos{(x+\frac{\pi}{7}+2\pi)}=2\cos{(x+2\pi+\frac{\pi}{7})}=f(x+T)\)
Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-04-13, ZAD-1299
