Zadanie - okres funkcji

Treść zadania:

Znaleźć okres podstawowy funkcji:

a) \(y=3ctg{\frac{x}{\pi}}\)

b) \(y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}\)


UWAGA: niżej użyta metoda może być stosowana wyłącznie, gdy badaną funkcję można sprowadzić do jednej funkcji trygonometrycznej.

ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz \(f(x)=f(x+T)\)

Nasza funkcja ma postać:

\(f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}\)

Dla każdej wartości \(x\) i \(x+T\), powinien być spełniony warunek: \(f(x)=f(x+T)\). Obliczmy wartość funkcji \(f(x+T)\) (podstawiamy do wzoru funkcji za \(x\) wartość \(x+T\)):

\(f(x+T)=3ctg{\frac{x+T}{\pi}}\) tło

Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:

\(ctg{(\alpha+\pi)}=ctg{\alpha}\)

gdzie w naszym przypadku \(alpha=\frac{x}{\pi}\). Przekształcamy naszą funkcję:

\(f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\pi)}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\frac{\pi^2}{\pi})}=3ctg{\frac{x+\pi^2}{\pi}}=f(x+T)\) tło

Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:

ksiązki Odpowiedź

\(T=\pi^2\)

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby \(x\) z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz \(f(x)=f(x+T)\)

Nasza funkcja ma postać:

\(f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}\)

Dla każdej wartości \(x\) i \(x+T\), powinien być spełniony warunek: \(f(x)=f(x+T)\). Obliczmy wartość funkcji \(f(x+T)\) (podstawiamy do wzoru funkcji za \(x\) wartość \(x+T\)):

\(f(x+T)=2\cos{(x+T+\frac{\pi}{7})}\) tło

Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:

\(\cos{(\alpha+2\pi)}=\cos{\alpha}\)

gdzie w naszym przypadku \(\alpha=x+\frac{\pi}{7}\). Przekształcamy naszą funkcję:

\(f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}=2\cos{(x+\frac{\pi}{7}+2\pi)}=2\cos{(x+2\pi+\frac{\pi}{7})}=f(x+T)\)

Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:

ksiązki Odpowiedź

\(T=2\pi\)

© medianauka.pl, 2011-04-13, ZAD-1299

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne





Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.