Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).
Rozwiązanie zadania
Przekształcamy nasze równanie tak, aby doprowadzić je do postaci równania lub równań trygonometrycznych elementarnych. Skorzystamy w pierwszej kolejności z jedynki trygonometrycznej:
\(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\)
\(\cos^2{x}=1-\sin^2{x}\)
Otrzymujemy
\(1-\sin^2{x}=\cos{x}\)
\(\cos^2{x}=\cos{x}\)
\(\cos^2{x}-\cos{x}=0\)
\(\cos{x}(\cos{x}-1)=0\)
Iloczyn dwóch czynników jest zerem, gdy jeden z nich jest równy zeru lub oba są równe zeru. Mamy więc:
\(\cos{x}=0\ lub \ \cos{x}-1=0\)
\(\cos{x}=0\ lub \ \cos{x}=1\)
Otrzymaliśmy dwa równania trygonometryczne elementarne. Pamiętamy, że rozwiązaniem podstawowym równania \(cosx=a (-1<a<1)\)są kąty \(\alpha, \ -\alpha\), rozwiązanie ogólne jest następujące:
\((\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C\)
Dla równania cosx=1 rozwiązania podstawowe są sobie równe \((cos0=1, 0=-0)\)
Dla równania cosx=0 rozwiązanie podstawowe to kąty \(\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2},\ (\cos{\frac{\pi}{2}}=0)\)
Mamy więc rozwiązanie ogólne:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-04, ZAD-1351
Zadania podobne
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.