Zadanie - równanie trygonometryczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przekształcamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

\(tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

\(ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\)

Mamy więc:

\(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}= \frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \frac{\sin{x}}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot \frac{\cos{x}}{\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x} }{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)


Skorzystaliśmy tutaj z jedynki trygonometrycznej

\(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\)

Skorzystamy z tożsamości:

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}

Wcześniej jednak doprowadzimy mianownik pierwszego ułamka do postaci, która występuje w powyższej tożsamości

\(\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}/:2\)

\(\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}} (\sin{2x}\neq 0)\)

\(2\sin{2x}=1\cdot \sqrt{3}/:2\)

\(\sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Wprowadzimy zmienną pomocniczą i rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne:

\(2x=u\)

\(\sin{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(u=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\)

\(2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\)

\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\)

\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C\)

ksiązki Odpowiedź

\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C\)

© medianauka.pl, 2011-06-04, ZAD-1352

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.