Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie:
a) \(ctg3x=\sqrt{3}\)
b) \(2\cos{3x}=\sqrt{2}\)
c) \(\cos{5x}=\sqrt{2}\)
a) Rozwiązanie zadania
Stosujemy podstawienie:
\(3x=u\)
\(ctgu=\sqrt{3}\)
Rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne. Rozwiązanie podstawowe: \(u_0=\frac{\pi}{6} \ (ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3})\)
Rozwiązanie ogólne:
\(u=\frac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in C\)
\(3x=\frac{\pi}{6}+k\pi/:3,\ k\in C\)
\(x=\frac{\pi}{18}+k\frac{\pi}{3},\ k\in C\)
Odpowiedź
b) Rozwiązanie zadania
Stosujemy podstawienie:
\(3x=u\)
\(2\cos{u}=\sqrt{2}/:2\)
\(\cos{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne. Rozwiązanie podstawowe: \(u_0=\frac{\pi}{4}, \ lub \ u_0=-\frac{\pi}{4} \ (cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2})\)
Rozwiązanie ogólne:
\(u=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{\pi}{4}+2k\pi, \ k\in C\)
\(3x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ 3x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi, \ k\in C \)
\(x=\frac{\pi}{12}+k\cdot \frac{2}{3}\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{12}+k\cdot \frac{2}{3}\pi, \ k\in C\)
Odpowiedź
c) Rozwiązanie zadania
Ponieważ \(\sqrt{2}>1\) mamy do czynienia z równaniem postaci cosx=a, gdzie nie jest spełniony warunek \(|a|<1\).
Równanie nie ma więc rozwiązania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-04, ZAD-1353
Zadania podobne
Zadanie nr 2 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\) w przedziale \(\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\rangle\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\).