Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).
Rozwiązanie zadania
Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Zauważamy, że:
\(tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)
\(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\)
\(\cos{x}-tg\frac{\pi}{3}\sin{x}=1\)
Korzystamy ze wzoru:
Mamy więc:
\(\cos{x}-\frac{ \sin{ \frac{\pi}{3} }}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\sin{x}=1/\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}}=\cos{\pi}\)
Korzystamy ze wzoru:
Otrzymujemy:
\(\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
Wiemy, że \(\cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\), ponadto zastosujemy podstawienie:
\(\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2}\)
\(u=x+\frac{\pi}{3}\)
\(\cos{u}=\frac{1}{2}\)
Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe: \(u_0=\frac{\pi}{3}\ lub \ u_0=-\frac{\pi}{3}\)
i rozwiązanie ogólne:
\(u=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\)
Wracamy do zmiennej x
\(x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\)
\(x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-05, ZAD-1357
Zadania podobne
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.