Zadanie - równanie trygonometyczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).
Rozwiązanie zadania
Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Stosujemy podstawienie:
\(u=2x-\frac{\pi}{2}\)
\(2\sin{u}=1/:2\)
\(2\sin{u}=\frac{1}{2}\)
Mamy rozwiązanie podstawowe: \(u_0=\frac{\pi}{6}, \ lub \ u_0=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi\)
Rozwiązanie ogólne:
\(u=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ u=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C"\)
Wracamy do zmiennej \(x\):
\(2x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{2}=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)
\(2x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{5}{6}\pi+\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in C\)
\(2x=\frac{\pi}{6}+\frac{3}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{5}{6}\pi+\frac{3}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)
\(2x=\frac{4}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{8}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)
\(2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi/:2, \ k\in C\)
\(x=\frac{2}{6}\pi+k\pi/:2 \ \vee \ x=\frac{4}{6}\pi+k\pi/:2, \ k\in C\)
\(x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \vee \ x=\frac{2}{3}\pi+k\pi, \ k\in C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-05, ZAD-1358
Zadania podobne
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.