Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).
Rozwiązanie zadania
Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.
W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.
Otrzymujemy:
\(2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\)
\(2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0\)
Stosujemy podstawienie:
\(u=\sin{x}\)
\(2-2u^2+3u=0\)
\(-2u^2+3u+2=0\)
Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:
\(\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\)
\(\sqrt{\Delta}=5\)
\(u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\)
\(u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}\)
Wracamy do zmiennej \(x\) i otrzymujemy pierwsze równanie:
\(\sin{x}=2\)
\(x\in ∅\)
Równanie to nie ma rozwiązania, bo \(2 \notin <-1,1>\).
Otrzymujemy także drugie równanie:
\(u=-\frac{1}{2}\)
\(\sin{x}=-\frac{1}{2}\)
Wiemy, że \(\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\). Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:
Zatem \(\sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\). Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:
czyli\(-\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}\)
Mamy więc rozwiązanie podstawowe: \(x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}\)
Rozwiązanie ogólne:
\(x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1359
Zadania podobne
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.