Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).
Rozwiązanie zadania
Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.
Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych:
Mamy więc:
\(2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\)
\(2\sin{3x}\cos{(-x)}=\)
Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:
\(\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}\)
Otrzymujemy:
\(2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\)
\(\sin{3x}\cos{x}=0\)
Iloczyn dwóch czynników jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zeru:
\(\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0\)
Otrzymaliśmy równania trygonometryczne elementarne, których rozwiązanie jest następujące:
\(3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-07, ZAD-1362
Zadania podobne
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.