Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo
Treść zadania:
Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul.
b) dwóch różnych kul.
c) kuli białej, a potem czarnej.
Rozwiązanie zadania
Wprowadzamy następujące oznaczenia: \(B\) - wylosowano białą kulę, \(C\) - wylosowano czarną kulę. W doświadczeniu mamy dwa etapy, w pierwszym losujemy jedną kulę , w drugim - bez zwracania losujemy kolejną kulę. Wynik doświadczenia możemy przedstawić za pomocą drzewa stochastycznego. W urnie mamy łącznie \(12\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest więc równe \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\), kuli białej: \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). W drugim etapie mamy już o jedną kulę mniej w zestawie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej lub białej zależy od wyniku etapu pierwszego. Mamy więc następujące drzewko:
a) \(A\) - wylosowano dwie takie same kule.
Zdarzeniu \(A\) sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu dwóch czarnych lub dwóch białych kul. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:
Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:
\(P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{14}{33}+\frac{3}{33}=\frac{17}{33}\)
b) \(B\) - wylosowano dwie różne kule.
Zdarzeniu \(B\) sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu kuli czarnej i białej lub białej i czarnej. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:
Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:
\(P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}+\frac{8}{33}=\frac{16}{33}\)
c) \(C\) - kuli białą, a potem czarną.
Zdarzeniu \(C\) sprzyjają jedno zdarzenie reprezentowane przez gałąź drzewa zaznaczoną na rysunku
Mnożymy prawdopodobieństwa zaznaczonej gałęzi:
\(P(C)=\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}\)
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{17}{33}\)
\(P(B)=\frac{16}{33}\)
\(P(C)=\frac{8}{33}\)
© medianauka.pl, 2011-09-19, ZAD-1462
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.
Zadanie nr 2.
Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?
Zadanie nr 3 — maturalne.
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Zadanie nr 4 — maturalne.
W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe i 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku — losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A. 2/15
B. 1/5
C. 4/5
D. 13/5
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe
A. \(\frac{5}{14}\)
B. \(\frac{9}{14}\)
C. \(\frac{5}{7}\)
D. \(\frac{6}{7}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \(\frac{1}{4}\). Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.