Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo

Treść zadania:

Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:

a) dwóch takich samych kul.

b) dwóch różnych kul.

c) kuli białej, a potem czarnej.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadzamy następujące oznaczenia: \(B\) - wylosowano białą kulę, \(C\) - wylosowano czarną kulę. W doświadczeniu mamy dwa etapy, w pierwszym losujemy jedną kulę , w drugim - bez zwracania losujemy kolejną kulę. Wynik doświadczenia możemy przedstawić za pomocą drzewa stochastycznego. W urnie mamy łącznie \(12\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest więc równe \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\), kuli białej: \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). W drugim etapie mamy już o jedną kulę mniej w zestawie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej lub białej zależy od wyniku etapu pierwszego. Mamy więc następujące drzewko:

drzewko prawdopodobieństwa - rysunek do zadania

a) \(A\) - wylosowano dwie takie same kule.

Zdarzeniu \(A\) sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu dwóch czarnych lub dwóch białych kul. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:

drzewo stochastyczne - rysunek do zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

\(P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{14}{33}+\frac{3}{33}=\frac{17}{33}\)

b) \(B\) - wylosowano dwie różne kule.

Zdarzeniu \(B\) sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu kuli czarnej i białej lub białej i czarnej. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:

drzewo prawdopodobieństwa - rysunek

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

\(P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}+\frac{8}{33}=\frac{16}{33}\)

c) \(C\) - kuli białą, a potem czarną.

Zdarzeniu \(C\) sprzyjają jedno zdarzenie reprezentowane przez gałąź drzewa zaznaczoną na rysunku

drzewko prawdopodobieństwa - rysunek do zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa zaznaczonej gałęzi:

\(P(C)=\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}\)

ksiązki Odpowiedź

\(P(A)=\frac{17}{33}\)

\(P(B)=\frac{16}{33}\)

\(P(C)=\frac{8}{33}\)


© medianauka.pl, 2011-09-19, ZAD-1462

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe i 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku — losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. 2/15

B. 1/5

C. 4/5

D. 13/5

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

A. \(\frac{5}{14}\)

B. \(\frac{9}{14}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{6}{7}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \(\frac{1}{4}\). Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.