Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko stochastyczne
Treść zadania:
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.
Rozwiązanie zadania
Doświadczenie losowania trzech osób w klasie możemy podzielić na trzy etapy, w których losujemy po jednej osobie (bez zwracania). Wprowadzamy następujące oznaczenia: \(d\) - wylosowano dziewczynę, \(c\) - wylosowano chłopaka. Wynik doświadczenia możemy przedstawić za pomocą drzewa stochastycznego. W klasie mamy łącznie \(25\) uczniów: \(12\) dziewcząt i \(13\) chłopców. Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jest więc równe \(\frac{12}{25}\), chłopca: \(\frac{13}{25}\). W drugim etapie mamy już o jednego ucznia mniej do dyspozycji. Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca lub dziewczyny zależy od wyniku etapu pierwszego. Mamy więc następujące drzewko:
Przez \(A\) oznaczymy zdarzenie wylosowania jednej dziewczyny i dwóch chłopców.
Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek, zaznaczono tam gałęzie gdzie jest jedno zdarzenie \(d\) i dwa \(c\)) i obliczamy:
Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:
\(P(A)=\frac{12}{25}\cdot \frac{13}{24}\cdot \frac{12}{23}+\frac{13}{25}\cdot \frac{12}{24}\cdot \frac{12}{23}+\frac{13}{25}\cdot \frac{12}{24}\cdot \frac{12}{23}=\frac{1872}{13800}+\frac{1872}{13800}+\frac{1872}{13800}=\frac{5616}{13800}\approx 0,41\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-09-24, ZAD-1463
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul.
b) dwóch różnych kul.
c) kuli białej, a potem czarnej.
Zadanie nr 2.
Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?
Zadanie nr 3 — maturalne.
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Zadanie nr 4 — maturalne.
W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe i 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku — losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A. 2/15
B. 1/5
C. 4/5
D. 13/5
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe
A. \(\frac{5}{14}\)
B. \(\frac{9}{14}\)
C. \(\frac{5}{7}\)
D. \(\frac{6}{7}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \(\frac{1}{4}\). Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.