Zadanie - schemat Bernoulliego
Treść zadania:
W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:
a) 4 bramki
b) co najmniej 5 bramek
c) mniej niż 3 bramki?
Rozwiązanie zadania
Każda próba polega na zdobyciu gola (sukces) lub nie (porażka) i prawdopodobieństwo sukcesu w każdym strzale jest takie samo. Kolejny wynik nie wpływa na wynik poprzedni i następny, więc mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego o sześciu próbach.
Jeżeli n oznacza liczbę prób, \(p\) - prawdopodobieństwo sukcesu, \(q\)- prawdopodobieństwo porażki, to mamy:
\(n=6\)
\(p=0,92=\frac{85}{100}=\frac{17}{20}\)
\(q=1-p=\frac{3}{20}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\)
\(p+q=1\)
Mamy więc:
a) piłkarz zdobędzie \(4\) bramki
\(P(S_6=4)={6 \choose 4}\cdot (\frac{17}{20})^4\cdot (\frac{3}{20})^{(6-4)}=\frac{6!}{4!2!}\cdot \frac{17^4}{20^4}\cdot \frac{3^2}{20^2}=\)
\(=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}=15\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}=\frac{11275335}{64000000}\approx 0,176\)
b) Piłkarz zdobędzie co najmniej \(5\) bramek
Co najmniej \(5\) bramek oznacza, że piłkarz może zdobyć \(5\) lub \(6\) bramek. Mamy więc:
\(P(S_6\geq 5)=P(S_6=5)+P(S_6=6)=\)
\(={6 \choose 5}\cdot (\frac{17}{20})^5\cdot (\frac{3}{20})^1+{6 \choose 6}\cdot (\frac{17}{20})^6\cdot (\frac{3}{20})^0=\)
\(=\frac{6!}{5!1!}\cdot \frac{17^5}{20^5}\cdot \frac{3}{20}+1\cdot \frac{17^6}{20^6}\cdot 1=\frac{5!\cdot 6}{5!\cdot 1}\cdot \frac{17^5}{20^5}\cdot \frac{3}{20}+\frac{17^6}{20^6}\approx 0,399+0,377=0,776\)
c) Piłkarz zdobędzie mniej niż \(3\) bramki
Mniej niż \(3\) bramki oznacza, że piłkarz może zdobyć \(0\),\(1\) lub \(2\) bramki. Mamy więc:
\(P(S_6< 3)=P(S_6=0)+P(S_6=1)+P(S_6=2)=\)
\(={6 \choose 0}\cdot (\frac{17}{20})^0\cdot (\frac{3}{20})^6+{6 \choose 1}\cdot (\frac{17}{20})^1\cdot (\frac{3}{20})^5+{6 \choose 2}\cdot (\frac{17}{20})^2\cdot (\frac{3}{20})^4=\)
\(=1\cdot 1\cdot \frac{3^6}{20^6}+\frac{6!}{5!}\cdot \frac{17}{20}\cdot \frac{3^5}{20^5}+\frac{6!}{2!4!}\cdot \frac{17^2}{20^2}\cdot \frac{3^4}{20^4}=\)
\(=\frac{3^6+6\cdot 17\cdot 3^5+17^2\cdot 3^4\cdot 15}{20^6}=\frac{376650}{64000000}\approx 0,00588\)
Odpowiedź
\(a)P(S_6=4)\approx 0,176\)
\(b)P(S_6\geq 5)\approx 0,776\)
\(c)P(S_6<3)\approx 0,006\)
© medianauka.pl, 2011-10-02, ZAD-1476
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?