Zadanie - ośmiościan foremny
Treść zadania:
Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa \(9\sqrt{2}\).
Rozwiązanie zadania
Na pole powierzchni ośmiościanu foremnego składa się osiem trójkątów równobocznych o boki równym długości krawędzi tego ośmiościanu (patrz rysunek)
Aby wyznaczyć długość krawędzi \(a\), skorzystamy ze wzoru na objętość ośmiościanu foremnego, który ma następującą postać:
Dana jest objętość, którą podstawimy do powyższego wzoru:
\(V=9\sqrt{2}\)
\(9\sqrt{2}=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}/\cdot 3\)
\(27\sqrt{2}=a^3\sqrt{2}/:\sqrt{2}\)
\(27=a^3\\ a=3\)
Pole trójkąta równobocznego, a więc pole jednej ściany naszego wielościanu jest dane wzorem:
Pole powierzchni całego wielościanu jest równe sumie pól powierzchni wszystkich ośmiu ścian, czyli:
\(S=8P=8\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2a^2\sqrt{3}=2\cdot 9\sqrt{3}=18\sqrt{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-10-15, ZAD-1483
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)?
Zadanie nr 2.
Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?