Zadanie - ośmiościan foremny, dwunastościan foremny
Treść zadania:
Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?
Rozwiązanie zadania
![ośmiościan foremny](matematyka/grafika/rysunek361.jpg)
![dwunastościan foremny](matematyka/grafika/rysunek362.jpg)
Kształt naczyń będzie taki, jak ilustrują powyższe rysunki. Długości krawędzi obu wielościanów mają być takie same. Wystarczy więc porównać objętości obu figur. Objętości obliczymy ze wzoru:
\(V_{osmioscian}=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
\(V_{dwunastoscian}=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)
Aby obliczyć ile razy dana objętość jest większa od drugiej, musimy obliczyć iloraz:
\(\frac{V_{dwunastoscian}}{V_{osmioscian}} =\frac{\frac{1}{4}\cancel{a^3}(15+7\sqrt{5})} {\frac{1}{3}\cancel{a^3}\sqrt{2}}=\frac{3\cdot \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\)
\(=\frac{\frac{3}{4}\sqrt{2}(15+7\sqrt{5})}{2}= \frac{3}{8}\sqrt{2}(15+7\sqrt{5})\approx 16,25\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-10-15, ZAD-1484
![AI](matematyka/grafika/matura-z-matematyki-1.jpg)
![Zbiór zadań z matematyki](matematyka/grafika/zbior-zadan-1.jpg)
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)?
Zadanie nr 2.
Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa \(9\sqrt{2}\).