Zadanie - ośmiościan foremny, dwunastościan foremny
Treść zadania:
Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?
Rozwiązanie zadania
Kształt naczyń będzie taki, jak ilustrują powyższe rysunki. Długości krawędzi obu wielościanów mają być takie same. Wystarczy więc porównać objętości obu figur. Objętości obliczymy ze wzoru:
\(V_{osmioscian}=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
\(V_{dwunastoscian}=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)
Aby obliczyć ile razy dana objętość jest większa od drugiej, musimy obliczyć iloraz:
\(\frac{V_{dwunastoscian}}{V_{osmioscian}} =\frac{\frac{1}{4}\cancel{a^3}(15+7\sqrt{5})} {\frac{1}{3}\cancel{a^3}\sqrt{2}}=\frac{3\cdot \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\)
\(=\frac{\frac{3}{4}\sqrt{2}(15+7\sqrt{5})}{2}= \frac{3}{8}\sqrt{2}(15+7\sqrt{5})\approx 16,25\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-10-15, ZAD-1484
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)?
Zadanie nr 2.
Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa \(9\sqrt{2}\).