Zadanie - objętość sześcianu
Treść zadania:
Przekątna sześcianu ma długość równą \(\sqrt{3}\). Oblicz objętość tego sześcianu.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic i wprowadzamy na rysunku odpowiednie oznaczenia. Korzystamy ze wzoru na objętość sześcianu
Musimy znaleźć wielkość \(a\). Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta wyznaczonego przez dwie krawędzie \(a\) i przekątną ściany sześcianu \(b\) w celu wyznaczenia długości przekątnej ściany:
\(a^2+a^2=b^2\)
\(b^2=2a^2\)
\(b=\sqrt{2}a\)
Skorzystamy po raz drugi z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta wyznaczonego przez krawędź \(a\), przekątną ściany \(b\) oraz przekątną sześcianu \(c\), która jest przeciwprostokątną w tym trójkącie.
\(a^2+b^2=c^2\)
\(a^2+(a\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2\)
\(a^2+2a^2=3\)
\(3a^2=3/:3\)
\(a^2=1\)
\( a=1\)
Obliczamy objętość:
\(V=1^3=1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-10-18, ZAD-1496
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile osób może zagłosować, używając kulek o średnicy 1 cm, wrzucając je do urny o wymiarach 1 m x 1 m x 1 m?
Zadanie nr 2 — maturalne.
Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe
A. 96
B. \(24\sqrt{3}\)
C. 192
D. \(16\sqrt{3}\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Dany jest sześcian \(ABCDEFG\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E, F, G, B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe
A. \(a^2\)
B. \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
C. \(\frac{3}{2}\cdot a^2\)
D. \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości 6. Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta. Zapisz obliczenia.