Zadanie - objętość czworościanu foremnego

Treść zadania:

Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Ostrosłup

Aby obliczyć objętość czworościanu musimy znać długość krawędzi \(a\), skorzystamy wówczas ze wzoru:

\(V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}\)

Gdybyśmy znali wielkość \(x\) zaznaczoną na rysunku, moglibyśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego wyznaczonego przez wysokość czworościanu, krawędź i odcinek \(x\), a mianowicie:

\(a^2=H^2+x^2\)

\(H=2\)

\(a=?\)

\( x=?\)

Sporządzimy rysunek, który ilustruje podstawę czworościanu:

Rysunek pomocniczy

W podstawie czworościanu jest trójkąt równoboczny. Ponieważ mamy do czynienia z czworościanem foremnym spodek wysokości jest środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości trójkąta równobocznego dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać, że:

\(x=\frac{2}{3}h\)

Wysokość w trójkącie równobocznym obliczymy na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta stanowiącego połowę trójkąta równobocznego.

\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\)

\(h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)

\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)

\(h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}\)

\(h=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Możemy już obliczyć \(x\):

\(x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)

Możemy już wyznaczyć długość krawędzi \(a\), korzystając z równania, które zapisaliśmy na samym początku rozwiązania zadania:

\(a^2=H^2+x^2\)

\(a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\)

\(a^2=4+\frac{3}{9}a^2\)

\(a^2-\frac{1}{3}a^2=4\)

\(\frac{2}{3}a^2=4/\cdot \frac{3}{2}\)

\(a^2=4\cdot \frac{3}{2}\)

\(a^2=6\)

\(a=\sqrt{6}\)

Obliczamy objętość:

\(V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}= \frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 2}=\frac{1}{12}\sqrt{3\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\(V=\sqrt{3}\)

© medianauka.pl, 2011-10-22, ZAD-1505

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości \(2\sqrt{3}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Narysować siatkę czworościanu foremnego o objętości 5 cm3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 3. Jaka jest jego objętość?

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.