Zadanie - objętość czworościanu foremnego
Treść zadania:
Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.
Rozwiązanie zadania
Aby obliczyć objętość czworościanu musimy znać długość krawędzi \(a\), skorzystamy wówczas ze wzoru:
Gdybyśmy znali wielkość \(x\) zaznaczoną na rysunku, moglibyśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego wyznaczonego przez wysokość czworościanu, krawędź i odcinek \(x\), a mianowicie:
\(a^2=H^2+x^2\)
\(H=2\)
\(a=?\)
\( x=?\)
Sporządzimy rysunek, który ilustruje podstawę czworościanu:
W podstawie czworościanu jest trójkąt równoboczny. Ponieważ mamy do czynienia z czworościanem foremnym spodek wysokości jest środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości trójkąta równobocznego dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać, że:
\(x=\frac{2}{3}h\)
Wysokość w trójkącie równobocznym obliczymy na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta stanowiącego połowę trójkąta równobocznego.
\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\)
\(h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)
\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)
\(h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}\)
\(h=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Możemy już obliczyć \(x\):
\(x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Możemy już wyznaczyć długość krawędzi \(a\), korzystając z równania, które zapisaliśmy na samym początku rozwiązania zadania:
\(a^2=H^2+x^2\)
\(a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\)
\(a^2=4+\frac{3}{9}a^2\)
\(a^2-\frac{1}{3}a^2=4\)
\(\frac{2}{3}a^2=4/\cdot \frac{3}{2}\)
\(a^2=4\cdot \frac{3}{2}\)
\(a^2=6\)
\(a=\sqrt{6}\)
Obliczamy objętość:
\(V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}= \frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 2}=\frac{1}{12}\sqrt{3\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-10-22, ZAD-1505
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości \(2\sqrt{3}\).
Zadanie nr 3.
Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 3. Jaka jest jego objętość?