Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−1, 2]\) jest równa
A. \(2\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(9\)
Rozwiązanie zadania
W naszym przypadku dane można odczytać bezpośrednio z wykresu.
Widać, że najmniejsza wartość z przedziału od -1 do 2 jest to liczba 5 (pierwsza czerwona kropka na fragmencie paraboli). Zatem prawidłowa odpowiedź to liczba 5.
Odpowiedź
Rozwiązanie analityczne
To jednak mało eleganckie rozwiązanie, bardziej "na oko". Pokażemy, jak rozwiązać to zadanie analitycznie.
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale, trzeba obliczyć wartości tej funkcji na krańcach przedziału oraz wszystkie ekstrema w tym przedziale. My jednak nie znamy wzoru funkcji. Musimy go najpierw znaleźć. Mamy jednak pewne dane.
Współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(1,9)\) oraz miejsca zerowe: -2 i 4. Mamy więc 3 punkty, które wystarczą do znalezienia wzoru paraboli.
Skorzystamy najpierw ze wzoru ogólnego na funkcję kwadratową:
gdzie \(x\in{\mathbb{R},\ a\neq 0,\ b\, c\) - liczby dane (rzeczywiste). Musimy więc wyznaczyć \(a, b\) i \(c\). To są nasze niewiadome.
Znając miejsca zerowe funkcji, możemy skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:
Zmienne \(x_1\) i \(x_2\), to miejsca zerowe funkcji, u nas -2 i 4. Mamy więc:
\(y=a(x+2)(x-4)\)
\(y=a(x^2-4x+2x-8)\)
\(y=ax^2-2ax-8a\)
Wyraz wolny \(c=-8a\), zaś \(b=-2a\).
Wiemy, że współrzędne wierzchołka są następujące \(W=(1,9)\). Wzór na współrzędne wierzchołka:
Zatem:
\(-\frac{\Delta}{4a}=9\)
\(-\frac{b^2-4ac}{4a}=9\)
\(-\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=9\)
\(-\frac{4a^2-4ac}{4a}=9\)
\(-\frac{4a(a-c}{4a}=9\)
\(-(a-c)=9\)
\(a-c=-9\)
\(a+8a=-9\)
\(a=-1,\ b=2,\ c=8\)
\(f(x)=-x^2+2x+8\)
Obliczamy wartości funkcji w punktach: -1, 2 i 1:
\(f(-1)=-1-2+8=5\)
\(f(2)=-4+4+8=8\)
\(f(1)=-1+2+8=9\)
Liczba 5 jest najmniejszą wartością funkcji w zadanym przedziale.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3231
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)?
.Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu \(f(x)=-2x^2+x-3\).
Zadanie nr 6.
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}\)
Zadanie nr 7.
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,-2]\)
B. \([-2,4]\)
C. \([4,\infty)\)
D. \((-\infty,9]\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
- \((-6,-3)\)
- \((-6,69)\)
- \((3,-12)\)
- \((6,-3)\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A. \((-\infty ,0\rangle \)
B. \(\langle 0, 4\rangle \)
C. \(\langle -4, +\infty)\)
D. \(\langle 4, +\infty)\)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(-4\)
C. \(4\)
D. \(0\)
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=-4\)
B. \(x=-4\)
C. \(y=2\)
D. \(x=2\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x−1)(x−3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).
Współczynnik a we wzorze funkcji \(f\) jest równy
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(-1\)
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(2\)
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=1\)
B. \(x=2\)
C. \(y=1\)
D. \(y=2\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale
A. \([1, +\infty)\)
B. \((−\infty, 1]\)
C. \((−\infty, −8]\)
D. \([−8, +\infty)\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((−5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba
A. 11
B. 1
C. (-1)
D. (-13)