zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)

Treść zadania:

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−1, 2]\) jest równa

A. \(2\)

B. \(5\)

C. \(8\)

D. \(9\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

W naszym przypadku dane można odczytać bezpośrednio z wykresu.

Wykres

Widać, że najmniejsza wartość z przedziału od -1 do 2 jest to liczba 5 (pierwsza czerwona kropka na fragmencie paraboli). Zatem prawidłowa odpowiedź to liczba 5.

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź B

Rozwiązanie analityczne

To jednak mało eleganckie rozwiązanie, bardziej "na oko". Pokażemy, jak rozwiązać to zadanie analitycznie.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale, trzeba obliczyć wartości tej funkcji na krańcach przedziału oraz wszystkie ekstrema w tym przedziale. My jednak nie znamy wzoru funkcji. Musimy go najpierw znaleźć. Mamy jednak pewne dane.

Współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(1,9)\) oraz miejsca zerowe: -2 i 4. Mamy więc 3 punkty, które wystarczą do znalezienia wzoru paraboli.

Skorzystamy najpierw ze wzoru ogólnego na funkcję kwadratową:

\(y=ax^2+bx+c\)

gdzie \(x\in{\mathbb{R},\ a\neq 0,\ b\, c\) - liczby dane (rzeczywiste). Musimy więc wyznaczyć \(a, b\) i \(c\). To są nasze niewiadome.

Znając miejsca zerowe funkcji, możemy skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Zmienne \(x_1\) i \(x_2\), to miejsca zerowe funkcji, u nas -2 i 4. Mamy więc:

\(y=a(x+2)(x-4)\)

\(y=a(x^2-4x+2x-8)\)

\(y=ax^2-2ax-8a\)

Wyraz wolny \(c=-8a\), zaś \(b=-2a\).

Wiemy, że współrzędne wierzchołka są następujące \(W=(1,9)\). Wzór na współrzędne wierzchołka:

\(W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\)

Zatem:

\(-\frac{\Delta}{4a}=9\)

\(-\frac{b^2-4ac}{4a}=9\)

\(-\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=9\)

\(-\frac{4a^2-4ac}{4a}=9\)

\(-\frac{4a(a-c}{4a}=9\)

\(-(a-c)=9\)

\(a-c=-9\)

\(a+8a=-9\)

\(a=-1,\ b=2,\ c=8\)

\(f(x)=-x^2+2x+8\)

Obliczamy wartości funkcji w punktach: -1, 2 i 1:

\(f(-1)=-1-2+8=5\)

\(f(2)=-4+4+8=8\)

\(f(1)=-1+2+8=9\)

Liczba 5 jest najmniejszą wartością funkcji w zadanym przedziale.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3231

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2|-x-2]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu \(f(x)=-2x^2+x-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

parabola

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

A. \((-\infty,-2]\)

B. \([-2,4]\)

C. \([4,\infty)\)

D. \((-\infty,9]\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

  1. \((-6,-3)\)
  2. \((-6,69)\)
  3. \((3,-12)\)
  4. \((6,-3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

wykres

Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. \((-\infty ,0\rangle \)

B. \(\langle 0, 4\rangle \)

C. \(\langle -4, +\infty)\)

D. \(\langle 4, +\infty)\)

Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa

A. \(-3\)

B. \(-4\)

C. \(4\)

D. \(0\)

Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

A. \(x=-4\)

B. \(x=-4\)

C. \(y=2\)

D. \(x=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x−1)(x−3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Rysunek

Współczynnik a we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(-2\)

D. \(-1\)

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa

A. \(-3\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

A. \(x=1\)

B. \(x=2\)

C. \(y=1\)

D. \(y=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale

A. \([1, +\infty)\)

B. \((−\infty, 1]\)

C. \((−\infty, −8]\)

D. \([−8, +\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((−5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

A. 11

B. 1

C. (-1)

D. (-13)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.