Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)
B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)
C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)
D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy następujące oznaczenie:
Kilka słów wyjaśnień. Odległość punktu od prostej jest to najkrótsza odległość dzieląca punkt i prostą, stąd wniosek, że kąt pomiędzy odcinkami \(KA\) i \(KS\) jest kątem prostym. Powstał w ten sposób trójkąt prostokątny, w którym dany jest kąt ostry, długość przeciwprostokątnej, a szukaną jest długość przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta ostrego. Długość \(x\) policzymy z definicji sinusa kąta.
Mamy więc:
\(\sin{31°}=\frac{x}{10}\)
Zauważ, że nie musimy liczyć dokładnej wartości \(x\), tylko oszacować, w jakim jest przedziale, zastosujemy więc przybliżenie:
\(\sin{31°}\approx \ sin{30°}=\frac{1}{2}\)
Obliczamy \(x\) z prostego równania ...
\(\frac{x}{10}=\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{10}{2}\)
... i widzimy, że rozwiązanie mieści się w pierwszym przedziale.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3233
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?
Zadanie nr 2.
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 6.
Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).
Zadanie nr 7.
Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.