Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. \(a=6\)
B. \(a=4\)
C. \(a=3\)
D. \(a=2\)
Rozwiązanie zadania
Mamy trzy odcinki, z których można zbudować trójkąt równoramienny, czyli taki, którego dwa boki mają taką samą długość. Ponieważ \(2a+1\) i \(a-1\) nie mogą mieć tej samej długości, jeden z tych boków musi mieć długość \(5\). Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
\(a-1=5\)
\(a=6\)
Mamy więc odcinki o długościach: \(5, 13, 5\) (\(13\) i \(5\), bo \(2a+1=13\) i \(a-1=5\), gdy \(a=6\)).
Pytanie brzmi, czy z odcinków o takich długościach można zbudować trójkąt? Aby sprawdzić, czy odcinki o określonych długościach mogą utworzyć trójkąt wystarczy sprawdzić, czy spełniają prawo trójkąta:
Nie ma też znaczenia, którą z odległości przyjmiemy za \(|AC|\). Wystarczy sprawdzić więc dowolny przypadek.
\(|13-5|<5<13+5\)
\(8<5<18\)
Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, a więc \(a=6\) nie jest rozwiązaniem naszego zadania.
Przypadek 2
\(2a+1=5\)
\(a=2\)
Mamy więc odcinki o długościach: \(5, 1\) i \(5\).
Czy z odcinków o takich długościach można zbudować trójkąt?
\(|1-5|<5<1+5\)
\(4<5<6\)
Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, a więc \(a=2\) jest rozwiązaniem naszego zadania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3242
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
Zadanie nr 2.
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).
Zadanie nr 3.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Zadanie nr 4.
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Zadanie nr 5.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Zadanie nr 6.
W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Zadanie nr 7.
W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.
Zadanie nr 8.
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?
Zadanie nr 9 — maturalne.
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.
Zadanie nr 10 — maturalne.
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).
Zadanie nr 11.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).
A. 10°
B. 30°
C. 40°
D. 50°