Nauka » Matematyka » Stożek Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Zadanie maturalne nr 23, matura 2016 (poziom podstawowy)

Treść zadania:

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. $36 π$

B. $18 π$

C. $24 π$

D. $8 π$

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Kat rozwarcia stożka ma $120 °$ , zatem kąt miedzy wysokością a tworzącą ma $60 °$ . Oznaczamy długość promienia podstawy przez $r$ .

Rysunek

Do obliczenia długości promienia wykorzystamy definicje sinusa kąta (stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przeciwprostokątnej trójkąta):

$s i n 60 ° = \frac{r}{4}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{4} / \cdot 4$

$r = 2 \sqrt{3}$

Do obliczenia długości wysokości stożka wykorzystamy definicje cosinusa kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej trójkąta):

$\cos 60 ° = \frac{h}{4}$

$\frac{1}{2} = \frac{h}{4} / \cdot 4$

$h = 2$

Objętość stożka (prostego i pochyłego) jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy (koła) przez wysokość stożka:

V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} π r^{2} h

Obliczamy więc:

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π (2 \sqrt{3})^{2} \cdot 2 = 8 π$

Odpowiedź

Odpowiedź D

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości $a$ , ramionach długości $b$ , kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta $β$ oraz $α$ przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość $h$ na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: $β, \frac{α}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości $a = \sqrt{2}$ . Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości $d = 2 \sqrt{3}$ tworzy z podstawą kąt $α = 30 °$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć promień $R$ okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt $r = 2$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $A B$ , która utworzyła z promieniem $A S$ kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu $S$ od cięciwy $A B$ jest liczbą z przedziału

A. $⟨ \frac{9}{2}; \frac{11}{2} ⟩$

B. $⟨ \frac{11}{2}; \frac{13}{2} ⟩$

C. $⟨ \frac{13}{2}; \frac{19}{2} ⟩$

D. $⟨ \frac{19}{2}; \frac{37}{2} ⟩$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Kąt $α$ jest ostry i $t g α = \frac{2}{3}$ . Wtedy:

A. $\sin α = \frac{3 \sqrt{13}}{26}$

B. $\sin α = \frac{\sqrt{13}}{13}$

C. $\sin α = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

D. $\sin α = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy