Nauka » Matematyka » Stożek Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Zadanie maturalne nr 23, matura 2016 (poziom podstawowy)

Treść zadania:

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi\)

B. \(18\pi\)

C. \(24\pi\)

D. \(8\pi\)

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Kat rozwarcia stożka ma \(120°\), zatem kąt miedzy wysokością a tworzącą ma \(60°\). Oznaczamy długość promienia podstawy przez \(r\).

Rysunek

Do obliczenia długości promienia wykorzystamy definicje sinusa kąta (stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przeciwprostokątnej trójkąta):

\(sin{60°}=\frac{r}{4}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{4}/\cdot 4\)

\(r=2\sqrt{3}\)

Do obliczenia długości wysokości stożka wykorzystamy definicje cosinusa kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej trójkąta):

\(\cos{60°}=\frac{h}{4}\)

\(\frac{1}{2}=\frac{h}{4}/\cdot 4\)

\(h=2\)

Objętość stożka (prostego i pochyłego) jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy (koła) przez wysokość stożka:

\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h\)

Obliczamy więc:

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi (2\sqrt{3})^2 \cdot2 = 8\pi\)

Odpowiedź

Odpowiedź D

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości \(a\), ramionach długości \(b\), kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \(\beta\) oraz \(\alpha\) przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość \(h\) na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \(\beta, \frac{\alpha}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości \(a=\sqrt{2}\). Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości \(d=2\sqrt{3}\) tworzy z podstawą kąt \(\alpha=30°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć promień \(R\) okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt \(r=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=\frac{2}{3}\). Wtedy:

A. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

B. \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}\)

C. \(\sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

D. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy