zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Jest co najmniej kilka sposobów podejścia do rozwiązania tego zadania. Tutaj zostanie zaproponowany najszybszy — graficzne podejście do problemu.

I sposób

Mamy do czynienia z dwoma dodatnimi liczbami i dwoma obszarami — okręgiem (równanie \(x^2+y^2=2\) reprezentuje okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch) oraz obszarem opisanym nierównością \(y\leq -x+2\) (jest to półpłaszczyzna ograniczona prostą o równaniu \(y=-x+2\)). Sporządźmy rysunek zawierający oba te obszary. Pamiętajmy, że \(x\) i \(y\) są dodatnie, ograniczamy się więc tylko do I ćwiartki układu współrzędnych.

Rysunek

Okrąg jest styczny z prostą \(y=-x+2\), gdyż punkt \(P=(1,1)\), zaznaczony na wykresie, należy do okręgu (bo \(1^2+1^2=2\)), należy też do \(y=-x+2\) (bo \(1=-1+2\)). Ponieważ mamy do czynienia z nierównością nieostrą widać, że wszystkie punkty okręgu (także punkt styczności) leżą w obszarze półpłaszczyzny (kolor pomarańczowy na rysunku), co kończy dowód.

II sposób

Przekształcimy nierówność \(x+y\leq 2\) tak, aby wykorzystać warunek \(x^2+y^2=2\) i otrzymać zdanie prawdziwe dla dodatnich liczb \(x\) i \(y\).

\(x+y\leq 2\)

\((x+y)^2\leq 4\)

\(x^2+2xy+y^2\leq 4\)

\(x^2+2xy+y^2\leq 2\cdot 2\)

Teraz wykorzystamy warunek \(x^2+y^2=2\), wstawiając go po prawej stronie nierówności.

\(x^2+2xy+y^2\leq 2(x^2+y^2)\)

\(x^2+y^2+2xy\leq 2x^2+2y^2\)

\(-x^2-y^2+2xy\leq 0\)

\(x^2+y^2-2xy\geq 0\)

\((x-y)^2\geq 0\)

Otrzymalismy zdanie prawdziwe, co kończy dowód.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3278

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.