Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).
Rozwiązanie zadania
Jest co najmniej kilka sposobów podejścia do rozwiązania tego zadania. Tutaj zostanie zaproponowany najszybszy — graficzne podejście do problemu.
I sposób
Mamy do czynienia z dwoma dodatnimi liczbami i dwoma obszarami — okręgiem (równanie \(x^2+y^2=2\) reprezentuje okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch) oraz obszarem opisanym nierównością \(y\leq -x+2\) (jest to półpłaszczyzna ograniczona prostą o równaniu \(y=-x+2\)). Sporządźmy rysunek zawierający oba te obszary. Pamiętajmy, że \(x\) i \(y\) są dodatnie, ograniczamy się więc tylko do I ćwiartki układu współrzędnych.
Okrąg jest styczny z prostą \(y=-x+2\), gdyż punkt \(P=(1,1)\), zaznaczony na wykresie, należy do okręgu (bo \(1^2+1^2=2\)), należy też do \(y=-x+2\) (bo \(1=-1+2\)). Ponieważ mamy do czynienia z nierównością nieostrą widać, że wszystkie punkty okręgu (także punkt styczności) leżą w obszarze półpłaszczyzny (kolor pomarańczowy na rysunku), co kończy dowód.
II sposób
Przekształcimy nierówność \(x+y\leq 2\) tak, aby wykorzystać warunek \(x^2+y^2=2\) i otrzymać zdanie prawdziwe dla dodatnich liczb \(x\) i \(y\).
\(x+y\leq 2\)
\((x+y)^2\leq 4\)
\(x^2+2xy+y^2\leq 4\)
\(x^2+2xy+y^2\leq 2\cdot 2\)
Teraz wykorzystamy warunek \(x^2+y^2=2\), wstawiając go po prawej stronie nierówności.
\(x^2+2xy+y^2\leq 2(x^2+y^2)\)
\(x^2+y^2+2xy\leq 2x^2+2y^2\)
\(-x^2-y^2+2xy\leq 0\)
\(x^2+y^2-2xy\geq 0\)
\((x-y)^2\geq 0\)
Otrzymalismy zdanie prawdziwe, co kończy dowód.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3278
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 6.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. \(A=(-1, 7)\)
B. \(B=(2, 3)\)
C. \(C=(3, 2)\)
D. \(D=(5, 3)\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać
A. \(x^2+y^2=200\)
B. \(x^2+y^2=100\)
C. \(x^2+y^2=400\)
D. \(x^2+y^2=300\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.