Zadanie maturalne nr 9, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okrąg wpisany w trójkąt \(BCD\) jest styczny do przekątnej \(BD\) w punkcie \(N\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ABD\) jest styczny do boku \(AD\) w punkcie \(M\), a środek \(S\) tego okręgu leży na odcinku \(MN\), jak na rysunku.
Wykaż, że \(|MN|=|AD|\).
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:
Zauważamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa, że:
\(|DM|=\sqrt{|DS|^2-|SM|^2}=\sqrt{|DS|^2-r^2}=\)
\(=\sqrt{|DS|^2-|DE|^2}=|DE|\)
Zauważamy także:
\(|SM|=|SE|=|SF|=|MA|=|NG| i |DE|=|BN|\)
Odcinek \(MN\) jest równoległy do odcinak \(AB\), zatem kąty \(GBN\) i \(ENS\) są równe (na rysunku oznaczono je przez \(\alpha\)). Trójkąty \(BGN\) i \(NES\) są prostokątne, więc kąty \(BNG\) i \(NSE\) również są równe. W związku z równością \(|SE|=|NG|\) trójkąty \(BGN\) i \(NES\) są przystające. Zatem \(|BN|=|NS|\). Mamy więc:
\(|MN|=|MS|+|SN|=|MA|+|BN|=|MA|+|DE|=|MA|+|DM|=|AD|\)
Powyższe kończy dowód.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3279
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.