Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Rozwiąż nierówność \(\frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0\) w przedziale \(\langle 0;2\pi\rangle\).
Rozwiązanie zadania
Określimy najpierw dziedzinę nierówności:
\(\cos^2{x}\neq 0\)
\(\cos{x}\neq 0\\ x\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi \vee x\neq -\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
W przedziale \(\langle 0;2\pi\rangle\) dziedzina naszej nierówności jest określona następująco:
\(x\neq \frac{\pi}{2}\)
Dalej zauważamy, że mianownik ułamka po lewej stronie nierówności jest dodatni (kwadrat dowolnej liczby jest zawsze dodatni). W takim przypadku aby cały ułamek był ujemny, nasz licznik musi być ujemny.
\(2\cos{x}-\sqrt{3}<0\)
\(2\cos{x}<\sqrt{3}\)
\(\cos{x}<\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Dla kąta \(\frac{\pi}{6}\) cosinus przyjmuje wartość równą prawej stronie naszej nierówności elementarnej. Rozwiązanie odczytamy z wykresu.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3282
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność:
a) \(tgx\leq \sqrt{3}\)
b) \(2\cos{x}>4\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}\)
b) \(ctg3x<1\)