Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Rozwiązanie zadania
Etap I
W pierwszej kolejności zbadamy, kiedy funkcja \(f(x)\) ma dwa pierwiastki. Wiemy, że trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni. Mamy więc:
\(\Delta>0\)
\(b^2-4ac>0\)
\([2(m+1)]^2-4(6m+1)>0\)
\(4(m^2+2m+1)-24m-4>0\)
\(4m^2+8m+4-24m-4>0\)
\(4m^2-16m>0\)
\(m^2-4m>0\)
\(m(m-4)>0\)
Rozwiązanie nierówności odczytujemy z wykresu.
\(x\in (-\infty;0)\cup (4+\infty)\)
Etap II
Teraz zbadamy, kiedy funkcja \(f(x)\) ma dwa pierwiastki tego samego znaku. Jeżeli pierwiastki mają być tego samego znaku, to ich iloczyn jest zawsze dodatni. Skorzystamy więc ze wzorów Viette'a.
\(x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}>0\)
\(\frac{6m+1}{1}>0\)
\(6m+1>0\)
\(m>-\frac{1}{6}\)
\(x\in (-\frac{1}{6}; +\infty)\)
Etap III
Teraz zbadamy warunek \(|x_1-x_2|<3\).
\(|x_1-x_2|<3\)
\(|\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\)
\(|\frac{-b-\sqrt{\Delta}+b-\sqrt{\Delta}}{2a}|<3\)
\(|\frac{-2\sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1}|<3\)
\(|-\sqrt{\Delta}|<3\)
\(\sqrt{\Delta}<3\)
\(0<\Delta <9\)
\(0<4m^2-16m<9\)
\(\begin{cases} 4m^2-16m>0\\4m^2-16m<9 \end{cases}\)
Pierwszą z tych nierówności już rozwiązaliśmy na etapie I. Zajmiemy się teraz drugą:
\(4m^2-16m<9\)
\(4m^2-16m-0<0\)
\(\Delta_m=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=400\)
\(m_1=\frac{16-20}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(m_1=\frac{16+20}{8}=\frac{9}{2}\)
\(x\in(-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\)
Uwzględniamy teraz część wspólną wszystkich przedziałów otrzymanych na I, II i III etapie rozwiązania:
Odpowiedź
\(x\in \lbrace (-\infty;0)\cup (4+\infty)\rbrace \cap (-\frac{1}{6}; +\infty)\cap (-\frac{1}{2};\frac{9}{2})\)
\(x\in (-\frac{1}{6};0)\cup (4;\frac{9}{2})\)
© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3283
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 6.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 7.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).