zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy oznaczenia:

Rysunek

Mamy dane: \(A=(-2,0),\ B=(2,0)\).

Oznaczmy współrzędne \(C\) przez \(C=(x,y)\).

Ponieważ punkt \(C\) leży na paraboli o danym równaniu, wiemy ile wynosi współrzędna \(y\) tego punktu:

\(C=(x,2-\frac{1}{2}x^2)\)

Znajdziemy teraz współrzędne punktu \(D\). Wiemy, że parabola jest symetryczna względem osi \(Oy\). Zatem współrzędna \(y\) punktu \(D\) jest taka sama jak punktu \(C\), natomiast współrzędna \(x\) jest przeciwna. Stąd:

\(D=(-x,2-\frac{1}{2}x^2)\)

Długości odcinków \(a, b\) i \(h\) policzymy ze wzoru:

\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Obliczamy długość odcinka \(a\):

\(a=\sqrt{(2+2)^2+0^2}=4\)

Obliczamy teraz długość odcinka \(b\):

\(b=\sqrt{(x+x)^2+(2-2+\frac{1}{2}x^2)^2}=\sqrt{4x^2}=2x\)

W przypadku długości \(h\) możemy odczytać długość wprost z wykresu:

\(h=2-\frac{1}{2}x^2\)

Pole trapezu obliczymy ze wzoru:

\(P=\frac{1}{2}(a+b)h\)

Mamy więc:

\(P(x)=\frac{1}{2}(4+2x)(2-\frac{1}{2}x^2)=(2+x)(2-\frac{1}{2}x^2)=\)

\(=-\frac{x^3}{2}+2x-x^2+2\)

Uzależniliśmy pole trapezu od pierwszej współrzędnej punktu \(C\). Znajdziemy teraz maksimum tej funkcji.

Jeżeli funkcja \(P(x)\) ma ekstremum w danym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna tej funkcji w tym punkcie jest równa zeru. Obliczamy pochodną funkcji \(P(x)\):

\(P'(x)=\frac{-3x^2}{2}+2-2x\)

Badamy w jakich punktach pochodna jest równa zeru.

\(\frac{-3x^2}{2}+2-2x=0/\cdot 2\)

\(-3x^2-4x+4=0\)

\(\Delta=16+48=64\)

\(x_1=\frac{2}{3}\)

\(x_2=-2\)

W tym miejscu pamiętamy, że \(x\) może przyjmować wartości od \(0\) do \(2\) (zgodnie z warunkami zadania punkt \(C\) nie może się znajdować w innym obszarze), więc tylko pierwszy pierwiastek nas interesuje. Zapiszmy postać iloczynową naszego trójmianu:

\(x\in(0;2)\)

\(P'(x)=-\frac{3}{2}(x-\frac{2}{3})(x+2)\)

Pochodna \(P'(x)>0\) wtedy i tyko wtedy, gdy \(x-\frac{2}{3}<0\) i \(x\in (0;2)\), czyli \(x\in (0;\frac{2}{3})\).

Pochodna \(P'(x)<0\) wtedy i tyko wtedy, gdy \(x-\frac{2}{3}>0\) i \(x\in (0;2)\), czyli \(x\in (\frac{2}{3};2)\).

Zatem w punkcje \(x=\frac{2}{3}\) funkcja posiada maksimum.

\(x_0=\frac{2}{3}\)

\( C=(\frac{2}{3},2-\frac{1}{2}\cdot(\frac{2}{3})^2)=(\frac{2}{3},\frac{16}{9})\)

ksiązki Odpowiedź

\(C=(\frac{2}{3}, \frac{16}{9})\)

© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3288

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

zadanie maturalne 15, matura rozszerzona 2020

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.