Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A. \(\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
B. \(8^2\cdot \sqrt{3}\)
C. \(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)
D. \(8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
Rozwiązanie zadania
Szkicujemy graniastosłup prawidłowy o podstawie trójkąta i wprowadzamy odpowiednie oznaczenia. Zauważ, że wszystkie krawędzie mają taka sama długość. Podstawa tego graniastosłupa musi więc być trójkątem równobocznym, a ściany kwadratami:
Aby policzyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, musimy znać pole powierzchni ścian (tutaj są to kwadraty o boku długości \(8\)) oraz podstaw (trójkąty równoboczne o boku długości \(8\)). Obliczymy wysokość w tym trójkącie równobocznym z twierdzenia Pitagorasa:
\(4^2+h^2=8^2\)
\(h^2=64-16\)
\(h^2=48\)
\(h=\sqrt{48}\)
\(h=\sqrt{4^2\cdot 3}\)
\(h=4\sqrt{3}\)
Obliczymy teraz pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)
Mamy dwie podstawy i trzy ściany. Pole powierzchni bocznej obliczamy następująco, doprowadzając wynik do odpowiedniej postaci:
\(P=2P_p+3P_b=2\cdot 16\sqrt{3}+3\cdot 8^2=32\sqrt{3}+8^2\cdot3=\)
\(=\frac{64}{2}\sqrt{3}+8^2\cdot3= 8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-12-11, ZAD-3321
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Zadanie nr 2 — maturalne.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. \(\angle HOL\)
B. \(\angle OGL\)
C. \(\angle HLO\)
D. \(\angle OHL\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy, pod kątem którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa
A. \(560\ cm^3\)
B. \(280\ cm^3\)
C. \(\frac{280}{3} cm^3\)
D. \(\frac{560}{3} cm^3\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin{\alpha}=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe 26,4. Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. \(15\sqrt{2}\)
B. \(45\)
C. \(5\sqrt{2}\)
D. \(10\)