Zadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy 1:3.
Rozwiązanie zadania
Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\) (\(|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a\)) oraz przez \(d\) długość przekątnej kwadratu (\(d=|AC|=|DB|\)). Obliczmy pole kwadratu i długość przekątnej:
\(P_k=a^2\\d=a\sqrt{2}\)
Korzystając z warunków zadania, otrzymujemy:
\(|EK|=\frac{1}{2}|AE|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{4}d=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\)
\(|EL|=\frac{2}{3}|BE|=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{3}d=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
Do obliczenia pola czworokąta \(KLMN\) (romb) wykorzystamy wzór:
Obliczamy długości przekątnych:
\(d_1=|KM|=2|EK|=\frac{1}{2}d=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(d_2=2|EL|=\frac{2\sqrt{2}}{3}a\)
Obliczymy teraz pole rombu:
\(P_r=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}a=\frac{1}{3}a^2\)
Obliczymy teraz stosunek obu pól:
\(\frac{P_r}{P_k}=\frac{\frac{1}{3}a^2}{a^2} =\frac{1}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-12-14, ZAD-3326
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.
Zadanie nr 2.
Oblicz pole rombu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)\).
Zadanie nr 3.
Dany jest romb o boku \(a=\sqrt{2}\). Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.
Zadanie nr 4.
Wysokość rombu o polu 3 ma wartość \(\frac{3}{2}\). Oblicz obwód tego rombu.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha\). Wtedy:
A. \(14°<\alpha< 15°\)
B. \(29°<\alpha< 30°\)
C. \(60°<\alpha< 61°\)
D. \(75°<\alpha< 76°\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
A. 8
B. 12
C. \(8\sqrt{3}\)
D. 16