Nauka » Matematyka » Odległość punktów Wzajemne położenie prostych Odcinek

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y = 2 x + 4$ jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $4$

Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

odległość punktu od prostej

Sporządzimy szkic rysunku do niniejszego zadania:

szkic do zadania 5. matura 2015

Szukamy długości $d$ odcinka $d = | A O |$ . Odcinek ten leży na prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli $O (0, 0)$ .

Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli $a_{1} = - \frac{1}{a_{2}}$ .

Ponieważ szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, współczynnik $b$ jest równy $0$ .

Mamy więc równanie szukanej prostej:

$y = - \frac{1}{2} x$

Aby znaleźć długość $d$ , musimy poznać współrzędne punktu $A$ , które są rozwiązaniem układu równań naszych prostych. Rozwiązujemy więc układ:

${\begin{cases} y = 2 x + 4 \\ y = - \frac{1}{2} x \end{cases}$

$- \frac{1}{2} x = 2 x + 4 / \cdot 2$

$- x = 4 x + 8 x = - \frac{8}{5}$

$y = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{8}{5}) = \frac{4}{5}$

$A = (- \frac{8}{5}, \frac{4}{5})$

Skorzystamy teraz ze wzoru na długość odcinka:

d = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}

Otrzymujemy:

$| O A | = \sqrt{(0 + \frac{8}{5})^{2} + (0 - \frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{64}{5} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$

Odpowiedź

Odpowiedź B

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dane są punkty $A = (- 3, - 2), B = (2, - 2)$ . Obliczyć długość odcinka $\overset{―}{A B}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest punkt $A = (1, 4)$ . Znaleźć taki punkt $B$ , że $| \overset{―}{A B} | = 1$ i który leży na prostej $x = \frac{1}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty $A = (1, 2), B = (1, 3), C = (4, 1)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dany jest odcinek o końcach $A = (2 + \sqrt{2}, 2), B = (- 4 + \sqrt{2}, - 4)$ . Znaleźć współrzędne środka odcinka $\overset{―}{A B}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty $A = (0, 0), B = (1, 2), C = (3, 1), D = (2, - 1)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overset{―}{A B}$ , gdzie $A = (1, 4), B = (- 2, 1)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

W układzie współrzędnych dane są punkty $A = (a, 6)$ oraz $B = (7, b)$ . Środkiem odcinka $A B$ jest punkt $M = (3, 4)$ . Wynika stąd, że:

A. $a = 5$ i $b = 5$

B. $a = - 1$ i $b = 2$

C. $a = 4$ i $b = 10$

D. $a = - 4$ i $b = - 2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Punkty $A = (30, 32)$ i $B = (0, 8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $A B C D$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x - y + 2 = 0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $A C$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Parabola o równaniu $y = 2 - \frac{1}{2} x^{2}$ przecina oś $O x$ układu współrzędnych w punktach $A = (- 2, 0)$ i $B = (2, 0)$ . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $A B C D$ , których dłuższą podstawą jest odcinek $A B$ , a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu $A B C D$ w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka $C$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt $A = (7, - 1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $A B C$ , w którym $| A C | = | B C |$ . Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie $x^{2} + y^{2} = 10$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dane są punkty o współrzędnych $A = (- 2, 5)$ oraz $B = (4, - 1)$ . Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku $A B$ jest równa

A. $12$

B. $6$

C. $6 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{6}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Dany jest punkt $A = (- 18, 10)$ . Prosta o równaniu $y = 3 x$ jest symetralną odcinka $A B$ . Wyznacz współrzędne punktu $B$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Punkt B jest obrazem punktu $A = (- 3, 5)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka $A B$ jest równa

A. $2 \sqrt{34}$

B. $8$

C. $\sqrt{34}$

D. $12$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Punkty $K = (4, - 10)$ i $L = (b, 2)$ są końcami odcinka $K L$ . Pierwsza współrzędna środka odcinka $K L$ jest równa (−12). Wynika stąd, że

A. $b = - 28$

B. $b = - 14$

C. $b = - 24$

D. $b = - 10$

Pokaż rozwiązanie zadania.