Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).
Rozwiązanie zadania
Równanie stycznej do krzywej \(f(x)\) w punkcie \((x_0,y_0)\) jest dane wzorem:
Obliczamy pierwszą pochodną naszej funkcji:
\(f'(x)=3x^2-4x\)
Styczne mają być równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\), a zatem wszystkie ich współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie styczności. Zatem:
\(f'(x_0)=4=3x^2-4x\)
\(3x^2-4x-4=0\)
\(\Delta=16+4\cdot 4\cdot 3=64\)
\(\sqrt{\Delta}=8\)
\(x_1=\frac{4-8}{2}=-\frac{2}{3}\)
\(x_2=\frac{4+8}{2}=2\)
Mamy więc dwa punkty styczności, w których styczna jest równoległa do danej prostej. Szukamy teraz współrzędnej \(y\) tych punktów, wstawiając wyznaczone \(x\) do wzoru naszej funkcji.
\(f(x_1)=(-\frac{2}{3})^3-2\cdot (-\frac{2}{3})^2+1=-\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+1=-\frac{5}{27}\)
\(f(x_2)=8-8+1=1\\P_1=(-\frac{2}{3},-\frac{5}{27})\)
\(P_2=(2,1)\)
Korzystamy teraz ze wzoru \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\). Równanie pierwszej stycznej:
\(y-(-\frac{5}{27})=4(x-(-\frac{2}{3}))\\y=4x+\frac{8}{3}-\frac{5}{27}\)
\(y=4x+\frac{67}{27}\)
Równanie drugiej stycznej:
\(y-1=4(x-2)\)
\(y=4x-7\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3370
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.